第十章定积分及其应用

第十章定积分及其应用1定积分的概念1．已知下列函数在指定区间上可积，用定义求下列积分：(1)(0)baxdxab；(2)()bakdxk是常数；(3)22xdx-1；(4)1(1,0)xadxaa0.2．设()fx在[,]acbc可积，证明()fxc在[,]ab上可积，且()()bbcaacfxcdxfxdx.3．设1,,(,),()0,[,)(,],xccabfxxaccb求证()0bafxdx.4．若函数()fx在[,]ab上可积，其积分是I，今在[,]ab内有限个点上改变()fx的值使它成为另一函数*()fx，证明*()fx也在[,]ab上可积，并且积分仍为I.2定积分的基本性质1．设()fx在[,]ab连续，()0fx，()fx不恒为零，证明()0bafxdx.2．设()fx在[,]ab连续，2()0bafxdx，证明()fx在[,]ab上恒为零.3．举例说明2()fx在[,]ab可积，但()fx在[,]ab不可积.4．比较下列各对定积分的大小：(1)11200xdxxdx，；(2)2200sinxdxxdx，；(3)1120133xxdxdx，.5．证明下列不等式（设所给的积分存在）；(1)2101xedxe；(2)20sin12xdxx；(3)2022121sin2dxx；(4)40ln36exdxex.6．证明：(1)10lim01nnxdxx；(2)20limsin0nnxdx.7．设(),()fxgx在[,]ab连续，证明01lim()()()()nbiiiaifgxfxgxdx，其中0111,,,[,](1,2,,),niiiiiiiaxxxbxxxxxin1maxiinx.8．设'()fx在[,]ab连续，且()0fa，求证：2()()max'()2baaxbbafxdxfx.9．设01，求证12120(1)lim0(1)nnntdttdt.10．(1)设()fx在[,]ab上连续，且对[,]ab上任一连续函数()gx均有()()0bafxgxdx，证明()0,[,]fxxab.(2)设()fx在[,]ab上连续，且对所有那些在[,]ab上满足附加条件()()0gagb的连续函数()gx，有()()0bafxgxdx.证明：在[,]ab上同样有()0fx.11．设(),()fxgx在[,]ab连续，求证：22()()()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx，而且等号成立当且仅当()()gxfx(或()()fxgx)，其中为常数。12．设(),()fxgx在[,]ab连续，求证：222[()()]()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx，而且等号成立当且仅当()()gxfx(0常数).13．设()fx在[0,1]连续，()0fx，求证：110011()()dxfxfxdx.14．设()(0)yxx是严格单调增加的连续函数，(0)0,()xy是它的反函数，证明00()()(0,0).abxdxydyabab15．用一致连续定义验证：(1)3()fxx在[0,1]上是一致连续的；(2)()sinfxx在(,)上是一致连续的；(3)2()fxx在[,]ab上一致连续，但在(,)上不一致连续；(4)2()sinfxx在(,)上不一致连续.3微积分基本定理1．计算下列定积分：(1)20cosxdx；(2)0aaxdx；(3)201sinxdx；(4)3244dxxx；(5)21lnxdxx；(6)1lneexdx；2．求下列极限：(1)11limsinnnkknn；(2)111lim12nnnn；(3)21limnnkkn；(4)1lim(1)(21)nnnnnn；3．若()fx连续，求'()Fx：(1)20()()xFxftdt；(2)()()bxFxftdt；(3)32()xtxFxedt；4．求下列极限：(1)20coslimxntdtx；(2)222020limxtxntedtedt；5．设()fx在[0,)连续且单调递增，求证：函数01()()xFxftdtx在(0,)上连续且单调递增。4定积分的计算1．计算下列定积分(1)2221(1)(3)3xxdxx；(2)214011xdxx；(3)151525xxdx；(4)941()xdxx；(5)1204xdx；(6)2220axaxdx；(7)20sincosmxnxdx；(8)123/20(1)dxxx；(9)3011xdxx；(10)40()xxxdx；(11)221cos1sinxdxx；(12)10xedx；(13)10arctanxxdx；(14)2220cosxxdx；(15)22cosxxdx；(16)2ln230xxedx；(17)sincosmxnxdx；(18)20(0)aaxxdxaax；(19)22240axadxx；(20)1321050(15)xxdx；2．计算下列定积分(1)920sinxdx；(2)50sinxdx；(3)260cosxdx；(4)3720cosxdx；(5)220()anaxdx；(6)1260(1)xdx；3．证明连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数，连续的偶函数的原函数中有且只有一个为奇函数.4．设()fx在所示区间上是连续函数，证明：(1)2200(sin)(cos)fxdxfxdx；(2)00(sin)(sin)2xfxdxfxdx；(3)2222211()()2aaadxadxfxfxxxxx；(4)232001()()(0)2aaxfxdxxfxdxa；5．计算积分20sincossinxdxxx.6．利用分部积分法证明：000()()()xxufuxuduftdtdu7．设''()fx在[,]ab连续，且()()0fafb，求证：(1)1()''()()()2bbaafxdxfxxaxbdx；(2)3()()max''()12baaxbbafxdxfx；8．设()fx在0x时连续，对任意,0ab，积分值()abafxdx与a无关，求证：()cfxx（c为常数）.9．设()fx在任一有限区间上可积分，且lim()xfxl求证：01lim()xxftdtlx5定积分在物理中的应用初步1．有一薄版22221()xyabab，长轴沿铅直方向一半浸入水中，求水对板的压力.2．修建大桥桥墩时要先下围囹。设一圆柱形围囹的直径为20m，水深27m，围囹高出水面3m，要把水抽尽，计算克服重力所作的功。3．某水库的闸门是一梯形，上底6m，下底2m，高10m，求水灌满时闸门所要的力。设水的比重为10003/kgm.4．半径为r的球沉入水中，它与水面相接，球的比重为1，现将球从水中取出，要作多少功？5．把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比。已知1kg的力能使弹簧伸长1cm，问把弹簧拉长10cm要作多少功？6．有一长为a的细棒，它在各点处的线密度与相距某一端点的距离平方成正比，求此细棒的平均密度.6定积分的近似计算1．已知12014dxx，试把积分区间[0,1]分成10等分，分别用梯形公式和抛物线公式计算的近似值，精确到小数点后三位.2．把积分区间10等分，用抛物线公式计算下列积分的近似值，精确到小数点后三位：(1)1301xdx；(2)21dxx.