第十章排列组合和二项式定理(第15课)二项式定理(4)

高中数学教案第十章排列组合和二项式定理（第15课时）王新敞新疆奎屯市第一高级中学第1页（共5页）课题：10奎屯王新敞新疆4二项式定理(四)教学目的：1奎屯王新敞新疆掌握二项式定理和二项式系数的性质，2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题奎屯王新敞新疆教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题奎屯王新敞新疆教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题奎屯王新敞新疆授课类型：新授课奎屯王新敞新疆课时安排：1课时奎屯王新敞新疆教具：多媒体、实物投影仪奎屯王新敞新疆教学过程：一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，（2）1(1)1nrrnnnxCxCxx.2．二项展开式的通项公式：1rnrrrnTCab奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性奎屯王新敞新疆4奎屯王新敞新疆二项式系数表（杨辉三角）()nab展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和奎屯王新敞新疆5．二项式系数的性质：()nab展开式的二项式系数是0nC，1nC，2nC，…，nnC．rnC可以看成以r为自变量的函数()fr，定义域是{0,1,2,,}n，例当6n时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵mnmnnCC）．直线2nr是图象的对称轴．（2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项2nnC取得最大值；当n是奇数高中数学教案第十章排列组合和二项式定理（第15课时）王新敞新疆奎屯市第一高级中学第2页（共5页）时，中间两项12nnC，12nnC取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1nrrnnnxCxCxx，令1x，则0122nrnnnnnnCCCCC奎屯王新敞新疆二、讲解范例：例1．设231111nxxxx2012nnaaxaxax，当012254naaaa时，求n的值奎屯王新敞新疆解：令1x得：230122222nnaaaa2(21)25421n，∴2128,7nn，点评：对于101()()()nnnfxaxaaxaa，令1,xa即1xa可得各项系数的和012naaaa的值；令1,xa即1xa，可得奇数项系数和与偶数项和的关系奎屯王新敞新疆例2．求证：1231232nnnnnnCCCnCn．证（法一）倒序相加：设S12323nnnnnCCCnC①又∵S1221(1)(2)2nnnnnnnnnCnCnCCC②∵rnrnnCC，∴011,,nnnnnnCCCC，由①+②得：0122nnnnnSnCCCC，∴11222nnSnn，即1231232nnnnnnCCCnCn．（法二）：左边各组合数的通项为rnrC11!(1)!!()!(1)!()!rnnnnrnCrnrrnr，高中数学教案第十章排列组合和二项式定理（第15课时）王新敞新疆奎屯市第一高级中学第3页（共5页）∴1230121112123nnnnnnnnnnCCCnCnCCCC12nn．例3．已知：223(3)nxx的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项奎屯王新敞新疆解：令1x，则展开式中各项系数和为2(13)2nn，又展开式中二项式系数和为2n，∴222992nn，5n．（1）∵5n，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，∴223226335()(3)90TCxxx，22232233345()(3)270TCxxx，（2）设展开式中第1r项系数最大，则21045233155()(3)3rrrrrrrTCxxCx，∴1155115533792233rrrrrrrrCCrCC，∴4r，即展开式中第5项系数最大，2264243355()(3)405TCxxx．例4．已知)(1222212211NnCCCSnnnnnnnn，求证：当n为偶数时，14nSn能被64整除奎屯王新敞新疆分析：由二项式定理的逆用化简nS，再把14nSn变形，化为含有因数64的多项式奎屯王新敞新疆∵1122122221(21)nnnnnnnnnSCCC3n，∴14nSn341nn，∵n为偶数，∴设2nk（*kN），∴14nSn2381kk(81)81kk0111888181kkkkkkCCCk011228(88)8kkkkCCC（），高中数学教案第十章排列组合和二项式定理（第15课时）王新敞新疆奎屯市第一高级中学第4页（共5页）当k=1时，410nSn显然能被64整除，当2k时，（）式能被64整除，所以，当n为偶数时，14nSn能被64整除奎屯王新敞新疆三、课堂练习：1．4511xx展开式中4x的系数为，各项系数之和为．2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)nnnnnnfxCxCxCxCx（6n）的展开式中，6x的系数为3．若二项式231(3)2nxx（nN）的展开式中含有常数项，则n的最小值为（）A.4B.5C.6D.84．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应（）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上5．在(1)nx的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则2(1)nx等于（）A.0B.pqC.22pqD.22pq6．求和：2341012311111111111nnnnnnnnaaaaaCCCCCaaaaa．7．求证：当nN且2n时，1322nnn．8．求102x的展开式中系数最大的项奎屯王新敞新疆答案：1.45,02.0．提示：16nfxxn奎屯王新敞新疆3.B4.C5.D6.11naa7.(略)8.33115360Tx高中数学教案第十章排列组合和二项式定理（第15课时）王新敞新疆奎屯市第一高级中学第5页（共5页）四、小结：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆五、课后作业：1．已知2(1)na展开式中的各项系数的和等于521615xx的展开式的常数项，而2(1)na展开式的系数的最大的项等于54，求a的值()aR奎屯王新敞新疆答案：3a2．设591413011314132111xxaxaxaxa求：①0114aaa②1313aaa．答案：①9319683；②953399632奎屯王新敞新疆3．求值：0123456789999999999922222CCCCCCCCCC．答案：82256奎屯王新敞新疆4．设296()(1)(21)fxxxx，试求()fx的展开式中：（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和奎屯王新敞新疆答案：（1）63729；（2）所有偶次项的系数和为6313642；所有奇次项的系数和为6313652奎屯王新敞新疆六、板书设计（略）奎屯王新敞新疆七、课后记：奎屯王新敞新疆