第十章排列组合和二项式定理(第9课)组合

高中数学教案第十章排列组合和二项式定理（第9课时）王新敞新疆奎屯市第一高级中学第1页（共6页）课题：10奎屯王新敞新疆3组合(三)教学目的：1奎屯王新敞新疆进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；2．能够解决一些组合应用问题，提高合理选用知识的能力奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆教学重点：组合应用问题奎屯王新敞新疆教学难点：组合应用问题奎屯王新敞新疆授课类型：新授课奎屯王新敞新疆课时安排：1课时奎屯王新敞新疆教具：多媒体、实物投影仪奎屯王新敞新疆内容分析：学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法.若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法.教学过程：一、复习引入：1奎屯王新敞新疆分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，……，在第n类办法中有nm种不同的方法奎屯王新敞新疆那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法奎屯王新敞新疆2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有1m高中数学教案第十章排列组合和二项式定理（第9课时）王新敞新疆奎屯市第一高级中学第2页（共6页）种不同的方法，做第二步有2m种不同的方法，……，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事有12nNmmm种不同的方法奎屯王新敞新疆3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．奎屯王新敞新疆4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示奎屯王新敞新疆5．排列数公式：(1)(2)(1)mnAnnnnm（,,mnNmn）6奎屯王新敞新疆阶乘：!n表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘奎屯王新敞新疆规定0!1．7．排列数的另一个计算公式：mnA=!()!nnm奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆8奎屯王新敞新疆组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合奎屯王新敞新疆说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同奎屯王新敞新疆9．组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．．．．用符号mnC表示．10．组合数公式：(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm或)!(!!mnmnCmn),,(nmNmn且奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆11奎屯王新敞新疆组合数的性质1：mnnmnCC．规定：10nC；12．组合数的性质2：mnC1＝mnC+1mnC奎屯王新敞新疆二、讲解范例：例1．100件产品中，有98件合格品，2件次品奎屯王新敞新疆从这100件产品中任意抽出3件．（1）一共有多少种不同的抽法；高中数学教案第十章排列组合和二项式定理（第9课时）王新敞新疆奎屯市第一高级中学第3页（共6页）（2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？解：（1）3100161700C；（2）398152096C；（3）12298247539506CC；（4）解法一：（直接法）12212982989506989604CCCC；解法二：（间接法）33100981617001520969604CC．例2．从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？解：分为三类：1奇4偶有4516CC；3奇2偶有2536CC；5奇1偶有56C，∴一共有4516CC+2536CC+23656C．例3．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有2324CC；②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有1334CC；③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有2334CC，∴一共有2324CC+1334CC+2334CC＝42种方法．例4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？解法一：（排除法）422131424152426CCCCCC．解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有2324CC；另一类为甲不值周一，但值周六，有2414CC，∴一共有2414CC+2324CC＝42种方法．高中数学教案第十章排列组合和二项式定理（第9课时）王新敞新疆奎屯市第一高级中学第4页（共6页）例5．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？解：第一步：从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有26C种方法；第二步：将5个“不同元素（书）”分给5个人有55A种方法．根据分步计数原理，一共有26C55A＝1800种方法奎屯王新敞新疆三、课堂练习：1．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有（）A．70B．80C．82D．842．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）种A．4441284CCCB．44412843CCCC．4431283CCAD．444128433CCCA3．5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同分法的种数为A．480B．240C．120D．964．已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛成员的组成共有种可能奎屯王新敞新疆5．在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，第3题的2个小题中选做1个小题，有种不同的选法奎屯王新敞新疆6．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的五位数奎屯王新敞新疆7．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有个奎屯王新敞新疆8．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛奎屯王新敞新疆（1）如果4人中男生和女生各选2人，有种选法；（2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有种选法；（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有种选法；（4）如果4人中必须既有男生又有女生，有种选法奎屯王新敞新疆9．在200件产品中，有2件次品奎屯王新敞新疆从中任取5件，（1）“其中恰有2件次品”的抽法有种；（2）“其中恰有1件次品”的抽法有种；（3）“其中没有次品”的抽法有种；（4）“其中至少有1件次品”的抽法有种奎屯王新敞新疆10．某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选高中数学教案第十章排列组合和二项式定理（第9课时）王新敞新疆奎屯市第一高级中学第5页（共6页）时的不同选法有16种，求该科技小组中女生的人数奎屯王新敞新疆答案：1.A2.A3.B4.2484900C5.23134224CCC6.5325547200ACC7.37332C8.⑴225460CC⑵2721C⑶449791CC⑷444945120CCC9.⑴31981274196C⑵41982124234110C⑶51982410141734C⑷55200198125508306CC10.女生的人数是2奎屯王新敞新疆思路：分3n和34n两种情况讨论奎屯王新敞新疆四、小结：排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法.若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法奎屯王新敞新疆五、课后作业：1．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有个奎屯王新敞新疆解：正方体有8个顶点，任取4个顶点的组合数为4870C个，其中四点共面的情况分2类：构成表面的有6组；构成对角面的有6组，所以，能形成四面体701258（个）．2．以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有对奎屯王新敞新疆解：由上题可知以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有58个，每个四面体的四条棱可以组成3对异面直线，因此以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有3×58＝174对奎屯王新敞新疆另解：312244443210174CCCC对奎屯王新敞新疆3．⑴6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？⑵5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？⑶5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？答案：⑴1562556；⑵72056A；⑶656C．六、板书设计（略）奎屯王新敞新疆七、课后记：奎屯王新敞新疆第17届世界杯足球赛于2002年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有32支球队有幸参加，他们先分成8个小组循环赛，决出16强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强），这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后高中数学教案第十章排列组合和二项式定理（第9课时）王新敞新疆奎屯市第一高级中学第6页（共6页）决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？答案是：642248824C，这题如果作为习题课应如何分析奎屯王新敞新疆解：可分为如下几类比赛：⑴小组赛，每组有24C场，8个小组共有824C场；⑵8个小组的第一、二名组成16强，根据抽签规则，将每两个小组的第一与第二名共4个队组成新的组，可分为4组，在每一个新的组中的第一与第二名交叉比赛有2场，可以决出8强，共有4*2＝8场；⑶4个小组的第一、二名组成8强，根据抽签规则，将每两个小组的第一与第二名共4个队组成新的组，可分为2组，在每一个新的组中的第一与第二名交叉比赛有2场，可以决出4强，共有2*2＝4场；⑷2个小组的第一、二名组成4强，4强中的第一与第二名交叉比赛有2场，可以决出2强；⑸2强比赛1场确定冠亚军，4强中的另2队比赛1场决出第三、四名奎屯王新敞新疆综上，共有642248824C场奎屯王新敞新疆