第十章第9课时知能演练轻松闯关

一、选择题1．若随机变量X的分布列如下表，则EX等于()X012345P2x3x7x2x3xxA.118B.19C.209D.920解析：选C.由分布列的性质可得2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝1，∴x＝118.∴EX＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5x＝40x＝209.2．(2013·潍坊调研)设X为随机变量，X～B(n，13)，若随机变量X的数学期望EX＝2，则P(X＝2)等于()A.1316B.4243C.13243D.80243解析：选D.∵X～B(n，13)，∴EX＝n3＝2，即n＝6.∴P(X＝2)＝C26(13)2(23)4＝80243.3．(2013·亳州调研)已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则Eη，Dη分别是()A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.6解析：选B.若两个随机变量η，X满足一次关系式η＝aX＋b(a，b为常数)，当已知EX、DX时，则有Eη＝aEX＋b，Dη＝a2DX.由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得Eη＝8－EX＝8－10×0.6＝2，Dη＝(－1)2DX＝10×0.6×0.4＝2.4.4．某校在摸底考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N(90，a2)(a0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为()A．200B．300C．400D．600解析：选A.由题知，P(x≥110)＝12×(1－35)＝15，则成绩不低于110分的学生人数约为1000×15＝200.5．(2013·渭南联考)签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()A．5B．5.25C．5.8D．4.6解析：选B.由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝1C36＝120，P(X＝4)＝C23C36＝320，P(X＝5)＝C24C36＝310，P(X＝6)＝C25C36＝12.由数学期望的定义可求得EX＝5.25.二、填空题6．某射手射击所得环数X的分布列如下：X78910Px0.10.3y已知X的期望EX＝8.9，则y的值为________．解析：由x＋0.1＋0.3＋y＝17x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9，解得y＝0.4.答案：0.47．(2013·抚州模拟)已知离散型随机变量X的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.X－1012Pabc112解析：由题意得，a＋b＋c＋112＝1.①∵EX＝0，∴－1×a＋0×b＋1×c＋2×112＝0，则－a＋c＋16＝0.②∵DX＝1，∴(－1－0)2×a＋(0－0)2×b＋(1－0)2×c＋(2－0)2×112＝1，即a＋c＝23，③联立①②③解得a＝512，b＝14.答案：512148．(2013·合肥调研)某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元．设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交保险金为________．解析：设保险公司要求顾客交x元保险金，若以ξ表示公司每年的收益额，则ξ是一个随机变量，其分布列为：ξxx－aP1－pp因此，公司每年收益的期望值为Eξ＝x(1－p)＋(x－a)·p＝x－ap.为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需Eξ＝0.1a，即x－ap＝0.1a，故可得x＝(0.1＋p)a.即顾客交的保险金为(0.1＋p)a时，可使公司期望获益10%a.答案：(0.1＋p)a三、解答题9．某品牌汽车的4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，且4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数4020a10b(1)若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分3期付款”的概率P(A)；(2)求η的分布列及其数学期望Eη.解：(1)由题意可知“购买该品牌汽车的3位顾客中有1位采用分3期付款”的概率为0.2，所以P(A)＝0.83＋C13×0.2×(1－0.2)2＝0.896.(2)由a100＝0.2得a＝20，∵40＋20＋a＋10＋b＝100，∴b＝10.记分期付款的期数为ξ，依题意得：P(ξ＝1)＝40100＝0.4，P(ξ＝2)＝20100＝0.2，P(ξ＝3)＝20100＝0.2，P(ξ＝4)＝10100＝0.1，P(ξ＝5)＝10100＝0.1.由题意知η的可能取值为：1,1.5,2(单位：万元)．P(η＝1)＝P(ξ＝1)＝0.4，P(η＝1.5)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.4；P(η＝2)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，∴η的分布列为：η11.52P0.40.40.2∴η的数学期望Eη＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4(万元)．10．(2013·冀州模拟)今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量．例如：家电的碳排放量(千克)＝耗电度数×0.785，汽车的碳排放量(千克)＝油耗公升数×0.785等．某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：A小区低碳族非低碳族比例P1212B小区低碳族非低碳族比例P4515(1)如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；(2)A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25人，记ξ表示25个人中低碳族人数，求Eξ.解：(1)记这4人中恰好有2人是低碳族为事件A，P(A)＝12×12×15×15＋4×12×12×45×15＋12×12×45×45＝33100.(2)设A小区有a人，2周后非低碳族的概率P＝a×12×1－152a＝825，2周后低碳族的概率P＝1－825＝1725，依题意ξ～B(25，1725)，所以Eξ＝25×1725＝17.一、选择题1．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，(a，b，c∈(0,1))已知他投篮一次得分的均值为2，则2a＋13b的最小值为()A.323B.283C.143D.163解析：选D.由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0a23，0b1.又2a＋13b＝3a＋2b2(2a＋13b)＝3＋13＋2ba＋a2b≥103＋22ba·a2b＝163，当且仅当2ba＝a2b，即a＝2b时取“等号”，又3a＋2b＝2，即当a＝12，b＝14时，2a＋13b的最小值为163，故选D.2．(2013·延安模拟)已知三个正态分布密度函数φi(x)＝12πσie－x－μi22σ2i(x∈R，i＝1,2,3)的图像如图所示，则()A．μ1μ2＝μ3，σ1＝σ2σ3B．μ1μ2＝μ3，σ1＝σ2σ3C．μ1＝μ2μ3，σ1σ2＝σ3D．μ1μ2＝μ3，σ1＝σ2σ3解析：选D.正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图像都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3.又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图像可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图像一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2σ3.二、填空题3．已知随机变量X～N(3,22)，若X＝2η＋3，则Dη＝________.解析：由X＝2η＋3，得DX＝4Dη，而DX＝σ2＝4，∴Dη＝1.答案：14．(2013·阜阳联考)罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望Eξ＝________.解析：因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球的次数，则ξ～B(4，35)，从而有Eξ＝np＝4×35＝125.答案：125三、解答题5．(2012·高考陕西卷)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间(分)12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时．(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个、第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)·P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)法一：X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；所以X的分布列为X012P0.50.490.01EX＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.法二：X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y2)＝0.5；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49；所以X的分布列为X012P0.50.490.01EX＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.