第十章解析几何初步(含答案)

30第十章解析几何初步(A)一、填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上)1.(2009·苏、锡、常、镇调研)如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，那么实数a的取值范围是_____.2.过点P(2，1)且与圆x2＋y2－2x＋2y＋1＝0相切的直线的方程为_________.3.若直线x＝1与直线2103axy垂直，则a＝_________.4.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是__________.5.若直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程为_________.6.若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是_________.7.若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)和圆的位置是_______.8.与圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0关于直线x－y＋3＝0对称的圆的方程是_________.9.若曲线214yx(－2≤x≤2)与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是_________.10.过点(－2，－1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是__________.11.已知直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－9＝0相交的两个交点关于y轴对称，则交点坐标为__________.12.已知直线l过点P(－1，2)，且与以A(－2，－3)和B(3，0)为端点的线段AB相交，那么直线l的斜率的取值范围是__________.13.与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同心，且过点(－1，1)的圆的方程是_________.14.若直线ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则12ab的最小值是_________.二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知圆经过点A(2，－3)和B(－2，－5).(1)若圆的面积最小，求圆的方程；(2)若圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程.16.(本小题满分14分)已知直线l1：ax－by＋4＝0和直线l2：(a－1)x＋y＋b＝0.若l1∥l2，且坐标原点到两直线的距离相等，求a，b的值.17.(本小题满分14分)已知△ABC的顶点A(1，2)，B(－1，－1)，直线l：2x＋y－1＝0是△ABC的一个内角平分线，求BC边所在直线的方程及点C到AB的距离.18.(本小题满分16分)已知直线l：mx+y-(m+1)=0.(1)试证直线l过定点，并求出该定点的坐标.(2)设m∈［0,+∞)，求直线l与坐标轴围成的三角形面积最小值.19.(本小题满分16分)已知在△ABC中，点A(－1，2)，B(5，5)，C(6，－2).(1)求△ABC的面积；(2)求△ABC的外接圆的方程.3120.(本小题满分16分)已知正方形ABCD的一边CD所在的直线方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1，5).(1)求正方形ABCD其他三边所在的直线方程；(2)求正方形ABCD的外接圆方程.第十章解析几何初步(B)一、填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上)1.已知过点A(－2，m)，B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值是_____.2.若两直线l1：y＝kx＋k＋2与l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是______.3.若过点(1，2)总可作两条直线和圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是_______.4.直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为_________.5.若点A(4，5)关于直线l的对称点为B(－2，7)，则直线l的方程为________.6.以A(4，9)，B(6，－3)为直径的圆的方程是__________.7.已知直线5x－12y＋a＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则a的值为__________.8.已知直线ax＋by＋c＝0(abc≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形的形状是________.9.若a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C对应边的边长，则直线sinA·x＋ay＋c＝0与bx－sinB·y＋c＝0的位置关系是______.10.(2008·山东卷理)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_______.11.若直线x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E、F两点，则△ECF的面积为______.12.过点P(1，2)的直线l把圆x2＋y2－4x－5＝0分成两个弓形，当其中较小的弓形面积最小时，直线l的方程是_________.13.若方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2－11＝0表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是_________.14.已知实数a＞0，直线l过点p(2,-2),且垂直于向量m=(3,-3),若直线l与圆x2+y2-2ax+a2-a=0相交，则实数a的取值范围是_________.二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)过点M(0，1)作直线，使它被直线l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M平分，求此直线方程.16.(本小题满分14分)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程.17.(本小题满分14分)如图，直角三角形ABC的顶点坐标A(-2，0)，直角顶点B(0，-22)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点.(1)求BC边所在直线方程；(2)M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；(3)求过点(-2，4)且与圆相切的直线方程.18.(本小题满分16分)设O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q，且关于直线x＋my＋4＝0对称，又有OP·OQ＝0.32(1)求m的值；(2)求直线PQ的方程.19.(本小题满分16分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，请说明理由.20.(本小题满分16分)已知曲线C：x2＋y2－4ax＋2ay－20＋20a＝0.(1)证明：不论a取何实数，曲线C必过一定点；(2)当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；(3)若曲线C与x轴相切，求a的值.第十章解析几何初步（A）1.32232,,22222【解析】本题可以转化为圆心（a，a）到原点的距离.圆心到原点的最小距离大于1，此时，|a|＞22;圆心到原点的最大距离小于3，此时|a|＜322.所以a∈32232,,22222.2.x＝2或3x－4y－2＝0【解析】圆的标准方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝1，当切线斜率不存在时，x＝2满足条件；当切线斜率存在时，可设直线方程为y－1＝k（x－2），利用圆心到直线的距离等于半径，即d＝211211kkk＝1，得k＝34，∴切线方程为3x－4y－2＝0.3.23【解析】x＝1斜率不存在，若要垂直，则23ax+y+1＝0的斜率为0.4.x－y+2＝0【解析】由已知得两圆的圆心坐标分别为（0，0）和（－2，2）.所以直线l的斜率为1，并过点（－1，1）.所以直线l的方程是y－1＝x＋1，即x－y+2＝0.335.y＝2x【解析】圆心为（1，2），直线l过点（1，2），且斜率为2，得方程y＝2x.6.22,3【解析】若x2＋y2＋2Dx＋2Ey＋F＝0表示圆，需D2＋E2－F＞0，得22a＋a2－（2a2＋a－1）＞0，即－2＜a＜23.（注意二元二次方程表示圆的条件）7.在圆外【解析】依题意有22|1|ab＜1，得a2＋b2＞1，故点P在圆外.8.x2＋y2＋8x－10y＋40＝0【解析】因为x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的圆心坐标是O1（2，－1），半径r1＝1.点O1（2，－1）关于直线x－y＋3＝0的对称点为O′（－4，5），所以所求圆的方程为（x＋4）2＋（y－5）2＝1，即x2＋y2＋8x－10y＋40＝0.9.53,124【解析】利用几何图形.由数形结合的方法知，当且仅当kPT＜k≤kPB，即512＜k≤34时，两曲线有两个交点.10.x－2y＝0或x＋y＋3＝0【解析】①直线过坐标原点时，在两坐标轴上的截距都为0，方程为x－2y＝0;②直线不过坐标原点时，设方程为xyaa＝1.∵直线过点（－2，－1），∴21aa＝1，得a＝－3.此时直线方程为x＋y＋3＝0.11.（±3，1）【解析】∵关于y轴对称的两个交点在直线y＝kx＋1上，∴k＝0，y＝1.代入x2＋y2＋kx－y－9＝0，得x2＝9，x＝±3，故交点坐标为（±3，1）.12.1,2∪［5，＋∞）【解析】∵kAP＝2312＝5，kBP＝2013＝－12，要使过点P的直线与线段AB相交，需k≥5或k≤－12.13.（x－2）2＋（y＋3）2＝25【解析】已知圆化为标准方程：（x－2）2＋（y＋3）2＝10，所以所求圆的方程可设为（x－2）2＋（y＋3）2＝r2，将点（－1，1）代入得r2＝25，所求圆的方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝25.14.3＋22【解析】由已知可得，直线过圆心（2，1），即a＋b＝1，所以12ab（a＋b）＝3＋2abba≥3＋22.15.（1）要使圆的面积最小，则AB为圆的直径，所以所求圆的方程为（x－2）（x＋2）＋（y＋3）（y＋5）＝0，即x2＋（y＋4）2＝5.（2）解法一：因为kAB＝12，AB中点为（0，－4），所以AB的中垂线方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0，解方程组240,1,2302.xyxxyy得.所以圆心为（－1，－2）.根据两点间的距离公式，得半径r＝10.因此，所求圆的方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10.解法二：设所求圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2.根据已知条件得2222222(2)(3),1,(2)(5),2,23010.abraabrbabr所以所求圆的方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10.3416.解法一：∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，∴l1的斜率也存在，且ab＝1－a.∵1－a与a不可能同时为0，∴b＝1aa.①由原点到l1和l2的距离相等，得2224||.(1)1baba②联立①②得2,2ab或2,32.ab对于这两种情形，经检验知l1与l2都不重合.∴2,2ab或2,32.ab解法二：∵两直线斜率都存在，化为斜截式得l1：y＝4axbb，l2：y＝（1－a）x－b.据题意作图，由直角三角形全等得两直线在y轴上的截距相反.∴21,2,,3422.,aaaabbbbb解得或解法三：据题意知，l1关于原点的中心对称图形是l2.∴对l1：ax－by＋4＝0，以－x代x，以－y代y，得l2：－ax＋by＋4＝0.又知l2：（a－1）x＋y＋b＝0.由两直线重合的条件得4.11abab解得