第十章计数原理与概率随机变量及其分布[理]概率[文]质量检测

第十章计数原理与概率、随机变量及其分布[理]概率[文](时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是()A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上答案均不对解析：四张纸牌分发给四人，每人一张，甲和乙不可能同时分得梅花，所以是互斥事件，但也有可能丙或丁分得梅花，故不是对立事件．答案：C2．[理]某城市2009年的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概率P1101613730215130其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2009年空气质量达到良或优的概率为()A.35B.1180C.119D.56解析：所求概率为110＋16＋13＝35.答案：A[文]一副扑克牌除去大、小王两张扑克后还剩52张，从中任意摸一张，摸到红心的概率为()A.12B.14C.112D.152解析：所有基本事件总数为52，事件“摸到一张红心”包含的基本事件数为13，则摸到红心的概率为1352.答案：B3．[理]某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为()A．14B．24C．28D．48解析：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为C12·C34＋C22·C24＝2×4＋1×6＝14.法二：从4男2女中选4人共有C46种选法，4名都是男生的选法有C44种，故至少有1名女生的选派方案种数为C46－C44＝15－1＝14.答案：A[文]一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为()A.132B.164C.332D.364解析：从袋中有放回地取2次，所取号码共有64种，其中和不小于15的有3种，分别是(7,8)，(8,7)，(8,8)，故所求概率为P＝364.答案：D4．[理](2009·重庆高考)x2＋2x8的展开式中x4的系数是()A．16B．70C．560D．1120解析：由二项展开式通项公式得Tk＋1＝Ck8(x2)8－k2xk＝2kCk8x16－3k.由16－3k＝4，得k＝4，则x4的系数为24C48＝1120.答案：D[文]随意安排甲、乙、丙3人在3天的节日中值班，每人值班一天．记事件A＝{甲在乙之前值班}，则P(A)为()A.13B.16C.19D.12解析：基本事件空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}，∴A＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(丙，甲，乙)}包含3个基本事件，∴P(A)＝36＝12.答案：D5．若A、B为一对对立事件，其概率分别为P(A)＝4x，P(B)＝1y，则x＋y的最小值为()A．9B．10C．6D．8解析：由已知得4x＋1y＝1(x0，y0)，∴x＋y＝(x＋y)(4x＋1y)＝5＋(4yx＋xy)≥9.答案：A6．[理]从数字0,1,2,3,5,7,8,11中任取3个分别作为Ax＋By＋C＝0中的A，B，C(A，B，C互不相等)的值，所得直线恰好经过原点的概率为()A.41335B.18C.528D.38解析：P＝7×68×7×6＝18.答案：B[文]一块各面均涂有油漆的正方体被据成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是()A.112B.110C.325D.12125解析：每条棱上有8块，共8×12＝96块．∴概率为8×121000＝12125.答案：D7．[理]现有分别写有数字1,2,3,4,5的5张白色卡片、5张黄色卡片、5张红色卡片．每次试验抽一张卡片，并定义随机变量x，y如下：若是白色，则x＝0；若是黄色，则x＝1；若是红色，则x＝2.若卡片数字是n(n＝1,2,3,4,5)，则y＝n，则P(x＋y＝3)的概率是()A.115B.15C.215D.415解析：满足x＋y＝3的数对(x，y)有三种(0,3)，(1,2)，(2,1)．而(0，3)表示取到一张写有数字3的白色卡片，此时概率P1＝115.同理，数对(1,2)对应的概率为P2＝115，数对(2,1)对应的概率为P3＝115.∴P(x＋y＝3)＝P1＋P2＋P3＝115＋115＋115＝315＝15.答案：B[文]先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则log2XY＝1的概率为()A.16B.536C.112D.12解析：由log2XY＝1得Y＝2X，满足条件的X、Y有3对，即(1,2)，(2,4)，(3,6)，而骰子朝上的点数X、Y共有36对，故所求概率为336＝112.答案：C8．[理]在(x2－1x)n的展开式中，常数项为15，则n＝()A．3B．4C．5D．6解析：对于二项式的展开式问题，关键要考虑通项，第k＋1项Tk＋1＝Cknx2(n－k)·(－1x)k＝Ckn(－1)kx2n－3k应有2n－3k＝0，∴n＝3k2，而n是正整数，故k＝2,4,6….结合题目给的已知条件，常数项为15，验证可知k＝4，n＝6.答案：D[文]已知直线y＝x＋b的横截距在[－2,3]范围内，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是()A.15B.25C.35D.45解析：P＝2－12－(－3)＝15.答案：A9．[理]口袋中有4个白球，n个红球，从中随机地摸出两个球，这两个球颜色相同的概率大于0.6，则n的最小值为()A．13B．14C．15D．16解析：由已知条件可得C24＋C2nC2n＋40.6，解之得n12或n1(舍去)，∴n的最小值为13.答案：A[文]一个坛子里有编号为1,2…，12的12个大小相同的球，其中1至6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为()A.122B.111C.322D.211解析：从12个球中任取两个的做法有66种．∴取到的是红球且至少有1个球号码为偶数的做法共有15－3＝12种，∴P＝1266＝211.答案：D10．[理]若从数字0,1,2,3,4,5中任取三个不同的数作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数，则与x轴有公共点的二次函数的概率是()A.1750B.1350C.12D.15解析：若从0,1,2,3,4,5中任选三个数作为二次函数的系数，对应二次函数共有C15A25＝100个，其中与x轴有公共点的二次函数需满足b2≥4ac，当c＝0时，a，b只需从1,2,3,4,5中任选2个数字即可，对应的二次函数共有A25个，当c≠0时，若b＝3，此时满足条件的(a，c)取值有(1,2)，(2,1)有2种情况；当b＝4时，此时满足条件的(a，c)取值有(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)有4种情况；当b＝5时，此时满足条件的(a，c)取值有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)有8种情况，即共有20＋2＋4＋8＝34种情况满足题意，故其概率为34100＝1750.答案：A[文](2010·佛山模拟)已知k∈Z，AB＝(k,1)，AC＝(2,4)，若|AB|≤4，则△ABC是直角三角形的概率为()A.17B.27C.37D.47解析：∵|AB|≤4，∴k2＋1≤16，∴k2≤15，∴k＝－3，－2，－1，0,1,2,3.又BC＝(2－k,3)．若AB·BC＝－k2＋2k＋3＝0，则k＝－1，k＝3；若BC·AC＝0，则k＝8(舍去)；若AB·AC＝0，则k＝－2.∴P＝37.答案：C二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分．请把正确答案填在题中横线上)11．[理](2009·辽宁高考)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有________种解析：分恰有2名男医生和恰有1名男医生两类，从而组队方案共有：C25×C14＋C15×C24＝70种．答案：70[文]两个骰子的点数分别为b、c，则方程x2＋bx＋c＝0有两个实根的概率为________解析：共有36个结果，方程有解，则Δ＝b2－4c≥0，∴b2≥4c，满足条件的数记为(b2,4c)，共有(4,4)，(9,4)，(9,8)，(16,4)，(16,8)，(16,12)，(16,16)，(25,4)，(25,8)，(25,12)，(25,16)，(25,20)，(25,24)，(36,4)，(36,8)，(36,12)，(36,16)，(36,20)，(36,24),19个结果，P＝1936.答案：193612．[理]用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________解析：若个位数是偶数，当2在个位时，则1在十位，共有A22A22＝4(个)，当2不在个位时，共有A12·A12·A22·A22＝16(个)，所以若个位是偶数，有4＋16＝20个六位数．同理，若个位数是奇数，有20个满足条件的六位数，因此，这样的六位数的个数是40.答案：40[文]若书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，由书架上抽出一本外文书的概率为________解析：P＝510＝12.答案：1213．[理]集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，则所取两数mn的概率是________．解析：基本事件总数为5×5＝25个．m＝2时，n＝1；m＝4时，n＝1,3；m＝6时，n＝1,3,5；m＝8时，n＝1,3,5,7；m＝10时，n＝1,3,5,7,9，共15个．故P＝1525＝35.答案：35[文]假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性相同，则“小燕比小明先到校，小明又比小军先到校”的概率为__________．解析：将3人排序共包含6个基本事件，由古典概型得P＝16.答案：1614．[理](2009·广东高考)已知离散型随机变量X的分布列如下表．若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.X－1012Pabc112解析：由题意a＋b＋c＋112＝1，－a＋c＋16＝0，a·1＋c·1＋112×22＝1，解得a＝512，b＝c＝14.答案：51214[文]如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝7.现在向该矩形内随机投一点P，则∠APB90°时的概率为________．解析：P＝12×(52)2π35＝5π56.答案：5π5615．如图所示，a，b，c，d是四处处于断开状态的开关，任意将其中两个闭合，则电路被接通的概率为________．解析：上个开关任意闭合2个，有ab、ac、ad、bc、bd共6种方案，电路被接通的条件是：①开关d必须闭合；②开关a，b，c中有一个闭合即电路被接通有ad、bd和cd3种方案，所以所求的概率是36＝12.答案：1216．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx－y＝0，若m在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是________．解析：由题意知m＝ba，e＝1＋m2，仅当m＝1或2时，1e3，∴e3时的概率P＝79.答案：7917．设A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6，x，y∈N*}．从A中任取一个元素，求x＋y≥10的概率为________解析：设从A中任取一个元素，x＋y≥10的事件为C，则有(4,6)，(6,