第十讲学习和运用数形结合的思想解决数学问题

第十讲学习和运用数形结合的思想解决数学问题数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，运用对立统一的规律“数”与“形”相互影响，相互渗透．数形结合是研究数学的重要思想方法。解决代数问题时，要注意数轴、直角坐标系的作用，借助于数轴、直角坐标系，把形与数联系到一起。数形结合的实质是把抽象的数量关系与直观的图形结合起来，以直观辅助抽象的思考，以精细的数学方法研究直观的细节。例1已知二次函数y=ax2-bx+c的图像如图所示，下列结论中哪些是正确的，请你一一指出并说明理由．(1)c0，(2)b0，(3)4a+2b+c0，(4)(a+c)2b2．解：(1)y=ax2+bx+c与y轴交于c(0，c)；点C在y轴的负半轴上，∴c0(1)是正确的(2)y=ax2+bx+c的图像开口向下，∴a0．又∵对称轴为x==1，即2a=-b．∵a与b符号相反，∴b0．(2)是正确的(3)由对称轴x=1，得点B为(2，0)．当x=2时，y=4a+2b+c0．∴(3)错误．(4)当x=1时，y=a+b+c0．(a+c)2-b2=(a+b+c)(a+c-b)∵a0，c0，-b0．∴a+c-b0．∴(a+c)2-b20，即(a+c)2b2．∴(4)是正确的．∴正确的结论有三个，它们是(1)，(2)，(4)．例2如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数的图像交于A、B两点．(1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．解：(1)由图中条件可知，双曲线经过点A(-2，1)，∴1=,m=-2．∴反比例函数的解析式为y=．又点B也在双曲线上，∴n==-2，∴点B的坐标为(1，-2)．∵直线y=kx+b经过点A、B，∴一次函数的解析式为y=-x-1．(2)根据图像可知，一次函数的图像在反比例函数的图像的上方时，一次函数的值大于反比例函数的值．∴当x-2或0x1时，次函数的值大于反比例函数的值．例3如图，直线AB过点A(3m，0)，B(0，n)(m0，n0)，反比例函数y=的图像与直线AB交于C、D两点，P为双曲线y=上任意一点，过P点作PQ⊥x轴于Q，PR⊥y轴于R．(1)用含m、n的代数式表示△AOB的面积S；(2)若m+n=10，n为何值时S最大?并求出这个最大值；(3)若BD=DC=CA，求出C、D、D两点的坐标；(4)在(3)的条件下，过O、D、C三点作抛物线，当该抛物线的对称轴为x=-时，矩形PROQ的面积是多少。解：(1)∵A(3m，0)，B(0，n)(m0，n0)∴OA=3m，OB=n∴S=mn；(2)由m+n=10，得m=10-n代入(1)S=-n2+15n，当n==5时，S最大=．(3)过C、D作．32轴的垂线，垂足分别为E、F．由BD=CD=CA．根据平行线等分线段定理得OF=EF=FA又∵OA=3m，∴OE=2m，OF=m可设C、D两点坐标分别为C(2m，y1)，D(m，y2)又∵C、D在反比例函数y=的图像上，∴C(2m，)，D(m，1)；(4)设过0、D、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c解这个方程组得该抛物线的对称轴为∴m=1∴y=．∴P点在反比例y=的图像上，P(z，y)．∴xy=1.即S矩形OQPQ=1．例4已知如图，AB是半圆O的直径，P为AB延长线上一点，PC切半圆O于C，BD⊥AB于B，OC交BD于D，AC交BD于E．G是半圆O上一点，且CG=CB．AG交PC于F，CF=4，tan∠P=．解：∵PC与⊙O切于C，∴OC⊥PC．∵CG=CB．∴∠1=∠2．又∠2=∠3，∵∠1=∠3．∴AF∥CO，∴AF⊥PF．∵tan∠P=．∴设OC=3x，CP=4x，由勾股定理，得OP=5x．解出x=．∴OC=5，又DB⊥AB于B．在Rt△0DB和Rt△0PC中，∴△ODB≌△OPC．∵DB=CP=.在Rt△APF中，PF=4+=，tan∠P=-，AF=PF·tan∠P．∴AF=·=8．∵∠1=∠2，∠F=∠ABE=90°，∴Rt△ACFc∽Rt△AEB．∴BE=5．∴DE=DB-BE=-5=．解决几何问题，要时刻抓住图形的位置关系和数量关系，位置影响数量；反过来数量也影响位置．在这道题当中，利用直径、切线、弧相等等条件产生的结果，就是构造平行和直角三角形，从而使问题得以解决．例5已知：如图，AB、AC、ED分别与⊙O切于点B、C、D，且AC⊥DE于E，BC的延长线交直线DE于F．若BC=24，sin∠F=．(1)求EF的长；(2)试判断直线AB与CD是否平行．若平行给出证明，若不平行说明理由．解：(1)在Rt△CEF中，∠CEF=90°，由sin∠F=，设CE=3x，CF=5x．由勾股定理，得EF=4x．ED、EC分别切⊙O于点D、C，∴ED=EC=3x．由切割线定理，得FD2=FC·FB．∴(7x)2=5x·(5x+24)．∴x2-5x=0∴x1=5,x2=0(不符题意，舍去)∴EF=4x=20．(2)答：AB与CD不平行．连结BD．∵ED与⊙O切于点D，∴∠CBD=∠CBF．又∠F=∠F，∴△BDF∽△DCF．∴CF=5x=25，DF=7x=35．在等腰Rt△CDE中，CE=3z=15．∴CD=15．∴BD=15BC=24．∴BD≠BC．∴∠BDC≠∠BCD．AB与⊙O切于B．∴∠ABC=∠BDC．∴∠ABC≠∠BCD．∴∠AB与CD不平行．例6在平面直角坐标系xOy中，已知A(-2，0)，B(3，0)，C(5，6)，过点C作x轴的平行线交y轴于点D．(1)若直线y-kx+b过B、C两点，求k、b的值；(2)如图，P是线段BC上的点，PA交y轴于点Q，若点P的横坐标为4,求S四边形PCDQ；(3)设点E在线段DC上，AE交y轴于点F，若∠CEB=∠AFB，求cos∠BAE的值．分析：解决好这道题，要注意点的坐标和求的直线解析式，图形面积以及某个角的锐角函数值的关系．解：(1)∵直线经过B、C两点，解之，得：k=3，b=-9．(2)由(1)知，直线BC的解析式为y=3x-9．而点P在BC上，∴当x-4时，y=3．过点P作PH⊥x轴于点H，则QO∥PH，∴△ACQ∽△AHP．∴AO/AH=OQ/PH∴OQ=1．连结PD，则S四边形PCDQ=(3)∵DC∥OB∴∠ABE=∠CEB=∠AFB．而∠FAB=∠BAE，∴△ABF∽△AEB．即AB2=AE·AF．设直线AE的解析式为y=k1x+b1，A(-2，0)代入-2k1+b1=0，∴b1=2k1．注意：点在线段上和点在直线上是不一样的，所以在解决问题的时候一定要注意点和线段或者是直线的位置关系．因为点在线段DE上，所以长度就受到了限制，在审题的时候，就可以得到数量影响位置、位置限制了数量，抓住相互之间的影响来解决问题．例7已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为P，与x轴的两个交点为M、N(点M在点N的左侧)，△PMN的三个内角∠P、∠M、∠N所对的边分别为p、m、n．若关于x的一元二次方程(p-m)x2+2nx+(p+m)=0有两个相等的实数根．(1)试判定△PMN的形状；(2)当顶点P的坐标为(2，-1)时，求抛物线的解析式；(3)平行于x轴的直线与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆恰好与x轴相切，求该圆的圆心坐标．分析：由于M、N是抛物线与z轴的交点，P是抛物线的顶点，所以△MPN一定是等腰三角形．但是∠P、∠M、∠N的对边分别是p、m、n，是关于方程的里边有两个相等的实数根，因此由判边式可以得到p、m、n之间的数量关系．解(1)∵关于x的一元二次方程(p-m)x2+2nx+(p+m)=O有两个相等的实根，∴△=(2n)2-4(p-m)(p+m)一O即p2=m2+n2．又由二次函数的对称性可知，这个三角形是等腰直角三角形．(2)∵抛物线的顶点为(2，-1)，∴设抛物线的解析式为y=a(x-2)2-1即y=ax2-4ax+4a-1．由(1)知，△MPN为等腰直角三角形，∴PM=PN∴a=1∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3．(3)设平行于x轴的直线为y=k;∵y=k与抛物线．y=x2-4x+3相交于A、B两点，∴方程组一定有两个不相等的实数解．在上式中消去y，得x2-4x+3-k=0，∴线段AB的长为又∵以AB为直径的圆恰好与x轴相切．当平行于32轴的直线与抛物线相交两点A、B时，直线和抛物线求交点的问题转化为y=k与y=x2-4x+3二元二次方程组求解的问题．圆与直线相切的时候又转化为圆心到x轴的距离等于半径的问题，从而又构造了关于k的方程，从而求出k的值．