旋转专题经典中考题精装版

..专题一：旋转中的不变量（１）目标：１．掌握旋转变换形成的基本图形，并会证明.２．能在旋转变换中找到不变量，并能够类比迁移解决问题．第一课时旋转基本图形例1．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，B、C、D在一条直线上，AC和BE相交于点M，AD和CE相交于点N．（1）求证：AD=BE．（2）求BE和AD的所成的角的大小．(3)证明：MN//BD（４）当ECD绕点C在平面内转动时，线段BE和AD有何关系．（相等，夹角为旋转角）ABCDEMGFEDCBAEOBAEDCBAB1A1BOA⊿OAA1与⊿OBB1是等腰三角形且顶角∠AOA1=∠BOB1则≌理由（）⊿ABC与⊿ADE是等边三角形则≌理由（）⊿AOB与⊿EOF是等腰直角三角形则≌理由（）四边形ABCD与四边形EDGF是正方形则≌理由（）NMEABCD..作业．1.如图1，已知等边△ABC和菱形BDEF，其中DF=DB，连接AF、CD．（1）观察图形，猜想AF与CD之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不必证明；（2）将菱形BDEF绕点B按顺时针方向旋转，使菱形BDEF的一边落在等边△ABC内部，在图2中画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，请问：（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在上述旋转过程中，AF、CD所夹锐角的度数是否发生变化？若不变，请你求出它的度数，并说明你的理由；若改变，请说明它的度数是如何变化的．图1图22.(2014期末海淀区)已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且ABCE．（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG=DE；（2）如图2，如果正方形ABCD的边长为2，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG//BD，BG=BD.①求BDE的度数；②请直接写出正方形CEFG的边长的值.EFCABDEFCBADGFEDCBA图2ABCDEFG图1..第二课时例2．如图(1)，已知两个正方形ABCD与正方形OEFG，O点是正方形ABCD的中心，正方形OEFG绕着点O旋转（旋转角满足900），①在旋转的过程中OM与ON有怎样的数量关系？四边形OMCN的面积有何变化，为什么？（1）②如图（2）当正方形OEFG的旋转中心不再是正方形ABCD的中心时，而是在AC的对角线上，且OE过点D，当OG与BC交于N时，OD与ON的数量关系是否发生改变？为什么？（2）③如图（3）当OG交BC的延长线与N时，OD与ON还有上面的结论成立吗？为什么？(3)NMFGOBADCENFGBACDOENFGBADCOE..作业:1.(07北京)在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为(11)，．将一个最短边长大于2的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．⑴如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为；⑵若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．2．操作：在△ABC中，AC=BC=2,∠C=90,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC,CB于D,E两点，图①②③是旋转三角板得到的图形中的其中三种。探究：(1)三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么大小关系？它们的关系为___________；（不必写出证明过程）(2)三角板绕点P旋转，△PBE能否成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即求出△PBE为等腰三角形时线段CE的长）；若不能，请说明理由。图①图②图③11OEFGyxxyGEFOxyGEFOEDPBACEPBCADEPBCAD..FABCDEFABCDEFABCDEFABCD专题二：利用旋转解决问题第一课时一、引例：如图，F是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADF顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.作法：结论：二、例题讲解例1：已知：正方形ABCD，∠EAF＝45°,EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CBDC，（或它们的延长线）于点,EF．（1）当EAF绕点A旋转到如图1的位置时，线段BEDF，和EF之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．图1（2）当EAF绕点A旋转到如图2的位置时，线段BEDF，和EF之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．图2备用图..FBADCEFCABDEFCABDEBADCBADCBADCBADCBADC变式1：若把例题中的条件变为“在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∠EAF=21BAD”EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CBDC，（或它们的延长线）于点,EF．如下图所示线段BEDF，和EF之间有怎样的数量关系？请直接写出它们之间的关系式变式2：若把例题中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是直线BC、CD上的点，且∠EAF=21∠BAD”EAF绕点A旋转，它的两边分别交直线BC、DC于点,EF．线段BEDF，和EF之间有怎样的数量关系？请直接写出它们之间的关系式备用图..图1图2FODBFODBACACEE例2．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC边上点，且∠EAF=45°．求证：222BECFEF．练习：1、如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线ACBD相交于O.（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF=90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF=45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明.ACBFEACBFE..2、如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．（1）求证：CE＝CF；（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．3、已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）BCAGDFE图1图2BCADE..PCABM第二课时复习引入：1、复习旋转的三要素和基本性质。2、如图，△ABC为等边三角形，M是△ABC内一点，若将△ABM经过旋转后到△ACP位置，则旋转中心是__________，旋转角等于_________度，△AMP是___________三角形.例题．请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°．进而求出等边△ABC的边长为7．问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．练习1、如图，P为等边三角形ABC内部一点，且P到三角形的三角形顶点A,B,C的长分别为3，4，5，求∠APB的度数.ABCP图3图1图2..2、（1）如图，△BCM中，∠BMC＝120°，以BC为边向三角形外作等边△ABC，把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△CAN的位置.若BM＝2，MC＝3.求：①∠AMB的度数；②求AM的长.（2）如图，△ABC中BM=2，CM=3，以BC为边的△ABC是等边三角形，求AM的最大值、最小值.3.如图，已知等腰直角BCABABCABC,90,(1)点D是ABC内一点.①若.,3,2,1的度数求＝ADBCDBDADABCDAMCB..②若点D是ABC内任意一点.求证：BDCDAD2（2）若点D为AC上任意一点，（1）中②的结论是否成立？若成立给出证明，若不成立，说明理由.(3)当点D为外任意一点时，ABC（1）中②的结论是否发生改变？直接写出你的结论.备用图备用图备用图ABCDACBACBACBACBADCB..ADCB4．已知，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA、PB、PC.（1）如图１，若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.图１（2）如图2，若点P在对角线AC上.求证：若PA2+PC2=2PB26.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC.证明：BD2=AB2+BC2.7．如图，已知：如图，四边形ABCD中，AD=CD，75ABC，60ADC，AB＝2，BC＝2，（1）以线段BD，AB，BC作为三角形的三边，①则这个三角形为三角形（填：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）；②求BD边所对的角的度数；（2）求四边形ABCD的面积．ABDCPABDCPABCD..专题三.与中点有关的旋转例1：在等腰直角△ABC中，D是AB中点，∠EDF=90°，求证：（１）DE=DF.（2）AEBFEF（3）222EFBFAE（４）若△DEF绕着顶点D旋转，点E、点F分别运动到CA、BC的延长线上，请自己画出图形，并说明(1)(2)(3)的结论是否成立。DBCA..例2（09宣武一模）如图，已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你连结EN，并判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请写出结论，并说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点M在点C右侧时，请你判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请直接写出结论；若不成立，请说明理由．（图1）（图2）（图3）作业：1.（北京2011）第24题．(7分)在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．(1)在图1中，证明：CE＝CF；(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数；(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB、DG(如图3)，求∠BDG的度数．BBADADCCEFEGFABCDEGF图1图2图3NFEDCBAMNFEDCBAMAEFDBNCM..2.（北京2008）第25题．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点ABE，，在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PGPC，．若60ABCBEF，探究PG与PC的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PGPC的值；（2）将图1