第四章 向量代数与空间解析几何

第四章向量代数与空间解析几何向量作为研究与刻划空间解析几何的有效工具，需要掌握向量的基础概念与运算；而空间解析几何作为一门独立的课程，有着丰富的内容。在此，作为高等数学中的一个章节，仅是为了学习和研究多元函数微积分而补充的一个基础工具。§4-1向量代数1.向量的概念(1)(2)几何描述(长度与方向)代数描述(坐标)2.向量的运算(1),,,.(2)[],.基本的运算上述运算都从几何和代数两个角度入手作了描述,请分析比较.几何上的描述便于理解与对问题的分析,代数上的描述适于运算.特别还有混合积运算请理解其几何意义和代数运算表达式abaabababc3.向量的关系||,(,),；aababab4.对向量的几何描述与代数描述，是在建立了直角坐标系的框架下，利用“投影”概念来建立两者的关系的。§4-2空间解析几何1.基本概念(1)(2),.空间解析几何是在建立了坐标系的框架下,用分析的方法来研究几何问题.方程与图形：用方程来刻划与描述图形用图形来阐述方程2.平面与直线平面及其方程,空间直线及其方程,是作为空间解析几何中最简单的研究对象.3.曲面与空间曲线(1).(2)(3)规则的二次曲面及其方程(指没有交叉乘积项)特别关注不规则的投影柱面、柱面、旋转曲面.空间曲线的描述主要基于两曲面的交线；也可视为点的运动轨迹,用参数方程表示.§4-3示例()2,(()())().()()2[]4.(i)()[][][].(ii),,[]0.[],,[]0.1设则原式注：等共面可知,若的计算中出现中有两个向量相等(或平行),则abcabbccaabcbcaabcabcabcbcabacabcabcabcabcabc例解2,.|()()()()2若证明因例abababab|abababab证2()()0..||.所以注：是常用公式abaabbabaaa022220020||||,|2,(,),lim.3||||2||limlim(||||)(||||)||||1lim1.||||2||2xxxxxxxxxxxxxxx300,|设且求原式a+baabbaba+baab+ba+baa+baa||b|+ba||b||b|a+baa例解111122221212,,()()0.,.,,.LCLPLOPOCOPOCrncrncnnccnnrcrnc4设有两条不平行直线证明：两条直线相交的充分必要条件是注：直线的向量表示式设直线的方向向量为为上一点.设为上任一点,则记则例001110222122211121212221112121212121122.,,,,()()()()0..()()0,,,,必要性若两直线相交即存在使故于是充分性若则共面,得即rrncrncccnnnnccnnnnnnccnnccccnn证111222001212,.故既在上又在上,所以与相交ncncrrrrrr121212121212212332312321.(2,3,2).(1,2,3)(3,1,1).(4,3,4),18(1,0,1).(1)xtxtLytLytztztLLLLMMMMMMxsns5通过直线：和：的平面方程是和是平行的,方向向量在和上分别取点和则从而所求平面的法向量为于是所求平面方程为例解(3)020.zxz即12112212(1,2,0)221,14353,.201(1,5,2).113(1,4,0).(8,2,1).lMxtxzllytxyzzlllllijksssss6设直线过点且与两直线：：垂直则的参数方程为的方向向量为的方向向量为故的方向向量为从而的参数方程为例解1822.xtytzt22(1,2,5)030(1,2,5),,.(2,2,1)(2,4,1).2(1)4(2)(5)0.(1)(3),2(1)4(2)((1)xyblzxyxayzabxyxyzlxtbytzatbltbtatn7设直线：在平面上,而与曲面相切于点求之值平面的法向量故的方程为的参数方程为由于在上故有例解(3)5)0.(5)(2)0,5,2.batbab即故222321,23(1,2,1).1,7110,|7211|32.57(1)xyzzLxyzMLMzMLMzxyd8设直线在平面上的投影直线为则点到的距离为由于点恰在平面上故点到的距离恰为点到投影平面的距离.在已知直线方程中消去得投影平面方程为故例解1112221211122211112222111122221212112::.(,,),(,,),(,,),(,,).,.(,,),0.xxyyzzxxyyzzLLabcabcabcabcMxyzMxyzLLMxyzMMLLssnssn9求两异面直线和之间的最短距离记设过且平行于的平面为则的法向量设为上任一点则平面的方程为注意到与的最短距离例解212121212212121111222222122112211221,|||()|||||.()()()MMMMMdxxyyzzabcabcbcbccacaababnssnss即为到的距离有111121111..1(1)0,(1)(1)0..(1,1,),(1,1,2)11202.xyzlxyzLlxyyzxyzLL10求直线：在平面：上的投影直线的方程方法一过的平面束方程为即平面束中与垂直的平面与的交线即为记由得所以的方程为例解nnnn11113210.2101.1(,,)(,,).(1,1,2),xyzxyzlxtytztPxyzlPxyz方法二.直线的参数方程为设为投影柱面上任一点它是由直线上得到的记的法向量为n11111111111,1122(,,),121PPxxyyzzsxxsyyszzsPxyzlxstystzstn由得即又故,,3210.3210210stxyzLxyzxyz消去参数得的方程为所以的方程为1,(,,)0(,,)0,FxyzGxyzxOyCz注：求曲线在坐标面上的投影曲线时比如曲线：在面上的投影曲线我们通常的做法是在的方程中消去变形得到投影柱面(仔细想想为什么？)111111111112(,,)0(,,)00,,(,,),,(,,)0(,,)0,FxyzGxyzAxByCzDPxyzPPPFxyzGxyzxxAtyyBtzzCtt求曲线：在某平面：上的投影曲线时设投影柱面为为上任意一点由可得消去参数即得的方程联立平面和的方程即得的方程n220022222220022222000(0),22,(0,,).(,,),42||()()(1)(422)(1),||zkykkxzyzOxyOzQykyPxyzzkyxykyPQxyyzzkyykyykyPQ11当取何值时曲线是圆？并求此圆的圆心坐标以及该圆在平面和平面上的投影.由对称性可设圆心坐标为设为曲线上任一点则因此由常数,得例解0221,1(0,1,1),22kyQzyxzy所以圆心为圆的方程为22(1)120(02).0yzOxxzyxyOzzyyx消去得该圆在面上的投影为消去得该圆在面上的投影为2222222222222210,1,(1)1.2(1),1110201||2.xmzxmxyzxmzyzmmymzmmmmm12求过曲线母线平行于轴的柱面方程.并问为何值时该柱面为椭圆柱面？曲线方程中消去得柱面方程为将柱面方程化为该柱面为椭圆柱面的充要条件是解得例解1114,0,0..(,,)xyLxyzzMxyzlMMMML13已知一柱面的准线为：母线垂直于平面：求柱面的方程记平面的法向量为设为柱面上任一点它是由母线沿准线移动到点时产生的,则即例解nn11111111111140,,()()4.xxyyzzxyzxyzxzyz消去得柱面方程注：以上关于柱面的问题和投影曲线的问题是相通的.1111222211111111122221(,,)(,,),21,,41.xzLzyMxyzLMxyzzxyxyzzzzyxyzxyz14求直线：绕轴旋转所得旋转曲面的方程.设为旋转曲面上任一点视其为直线上点绕轴旋转而得则消去得旋转曲面方程例解0001111000010011111(,,)0(,,)0(,,)(,,)(,,)|||,,.FxyzGxyzxxyyzzlmnpMxyzMxyzMxyzlMMMMMMlMxyz注：空间曲线：绕空间直线：旋转所得旋转曲面的方程的求法：设为上任一点视它为由上的点旋转而得,为上一点,则|消去即可得的方程自我检测题(四)222222(1),,,.||(2),.(3)()()().(4),375,472,.(5),(6)00若互不平行,且证明：设为非零向量,证明：证明：已知为单位向量则与的夹角为已知不在一直线上,且有相同起点,求它们角平分线上的单位向量.一平面过abcabbccaabcababab|a||b||a||b|bcaabccabaabababababab11122211000(6,3,2)428,.3210(7),4230,21030(A).(B).(C)(D)(8)(9)(,,)xyzxyzlxylxyzllllxxyyzzxxyyzzLLlmnlmnxyz原点及点且与平面垂直则此平面的方程为设直线：平面：则与的关系是().与斜交.求两平行直线：与：之间的距离.求点关于111.10(10),,0(11)12,(1,2,1)32,.1(12)011xxyyzzlmnxyzxyzxyzxtytMztxyzLoz直线的对称点已知柱面的母线平行于直线而准线是求柱面的方程.圆柱面的对称轴为直线并且已知点在圆柱面上求圆柱碳的方程已知一曲面由直线：绕轴旋转一周而成,求该曲面2222222221111(13)112112(14)25(2)(1)25.(15)(2,0,0),1,4916.xyzxyzxyzxyzxyzALLL的方程,并指出是何种曲面.求直线绕直线旋转所得旋转曲面的方程.求外切于两个球面及的圆柱面的方程过点作直线使在单叶双曲面上求直线的方程