第四章+套利定价理论

第四章套利定价理论1：一个多因子的模型和CAPM相类似的，APT从一个简单的模型开始，那就是大家都知道的在资本市场中经验方法的框架：资产收益率收到若干个共同因素（或变量）的影响。所以一个资产i的收益就可以表示为下面的多因子的模型：iKiKiiiifffRR~~~2211i=1,2,…..,N,(4-1)这里：)(.......2,1,~.,........,2,1,0~,.,,.........2,1,02jiNiVarNiNKKjfiiij其中iR~时资产i的单周期收益,iR~是它的无条件单周期期望收益。变量jf表示在这个期间中第j种因子的价值变动。这些因子都是零均值，并且代表了模型中系统风险的来源，也就是说，所有的资产都受到了这些共同因子的影响。系数iK是资产I与因子k的价值变化的敏感度，称为因子的贝塔系数或因子的荷载，并假定所有因子的值都是有界。最后，i~是零均值的残差项，它具有有限方差。这些残差项之间可能是截面相关的，但他们与模型中的因子是互不相关的。方程（4-1）本质上描述了有关资产收益的一个静态关系，他并不表示时间上的关联。并且假定在资本市场的全体风险资产的一个非空子集上成立这个模型，这样可以给出下述定义：定义4.1：在资本市场的全体风险资产的一个非空子集上所成立的（4-1）方程称为线性K因子模型。用如下的矩阵记号表示：TffBRR00~~(4-2)现在，如果这个非空子集上有N个风险资产，R~是资产收益的N*1向量，R~是它的期望收益的N*1向量。f是共同因子价值变化的K*1向量，B是因子荷载的N*K矩阵。是残差的N*1向量，而是残差的方差—协方差的N*N矩阵，它是正定的。由定义（4-2），可以得到：定理4.1：如果风险资产的收益服从于线性K因子模型（4-2）式，那么资产收益的方差—协防差距阵V一定满足下式：TBBV这里不失一般性，假定IffffT，I是K*K单位矩阵。证明：TTTBBIBBffCovBBCovfBCovfBfBCovfBCovfBRfBRCovVRRCov,~~,~,~~~,~~~,~有定义（4-1）可以发现，在这个K个因子的模型中，所隐含的定价关系实际上决定于残差次的方差—协防差距阵的结构。针对这个矩阵的不同结构，给出这样的定义：定义4.2：(Chamberlain与Rothschild.1983)对线性K因子模型（4-2），如果残差是截面不相关，即.0~,~ijjiCovNji.......2,1,ji(4-3)这个模型称为严格的K因子模型或严格的K因子结构。而如果残差并不是截面不相关的，那么生成的模型称为渐进的K因子模型或渐进的K因子结构。由定义可知，严格的K因子结构意味着模型（4-2）中的K个因子完全解释了任何两个资产收益之间的关系，或者K个因子是收益协方差的原因。而渐进的因子结构实际上是一个更一般的情况，这时并不是对角矩阵，这也表明了渐进的因子结构病不能完全解释资产收益之间的协方差。虽然这两种结构在这方面有较大的差异，但这两种结构都可作为套利定价理论的出发点。2：Ross的套利定价理论Ross（1976）的APT的基本构想是在于两点，首先是形成一个有关资产收益服从于K因子模型，或者说资产收益是和严格的K因子结构一致的；第二就是不存在套利条件，具体就是套利资产组合的收益为零，这就是原始的APT的贺信。假设条件：（1）、资本市场是完全的。（2）、资本市场不存在任何套利的机会。（3）任何资产的收益完全由K个共同因子决定，这种关系可由（4-1）或（4-2）描述。（4）、全体投资者对资产收益的联合分布由一致的语气。（5）、在资本市场中有充分多的资产，并且它们都可以无限可分的。现在先讨论这些假设条件的解释：对条件（1）是很自然的，并由此可知市场是无摩檫，无税收，无交易费用等等；条件（2）实际上隐含了APT是一个均衡基础上的定价模型；条件（3）是给出了多因子模型的一个线性结构，也就是APT仍是在一个线性定价模型框架上实现；条件（4）虽然与CAPM完全相同，但在APT的（4-1）的框架上还隐含了对因子的分布由一致的语气；最后条件（5）则保证了NK，这是在以后的数学推导中不可缺的条件。这里我们将运用描述性的推导，论述Ross原始的APT。现在考虑有一个套利资产组合P，它的权数向量p，那么在K因子模型中成立：TpTPTpTppfBRRR~(4-4)根据定义，这个资产组合应成立这样的条件0,01BTpTp，这两个条件分别表示了套利资产组合的成本为零，即没有净初始投资，以及套利资产组合不存在任何的系统性风险。但在Ross的APT推导中还有一个非常关键的假设条件，这是统计学中大数定律的运用。因为在严格的因子结构中，残茶i~是截面不相关的（见（4-3）式）。而且当大量的不相关的随机变量组合在一起，同时又是这些线性系数都非常小，那么根据弱大数定律可知，从它们的和上看随即行将渐进的消失。所以，只要将pj每个分量选择充分的少，这个套利资产组合的特殊风险也会渐进的消失。为此，选择Ni1，那么就有：2211~1~1NVarANVarRVariNiip（4-5）这里是残差想方差的上界。因为我们架设了资本市场中有充分多的资产，所以保证了当充分多的资产时，资产组合的残差项方差总是有界的。这样，通过分散化，套利资产组合的非系统行风险渐进的消失，满足：0Tp或者0Tp（4-6）此时（4-4）式变为：RRRTpTPTpp~~（4-7）现在，我们运用非套利条件的假家设，即任何一个不使用净投资，而且具有零风险的资产组合，在均衡时只有零期望收益。因而有：定理4.2：在非套利条件下，一个套利资产组合必定成立：0~,0,01RBTTT（4-8）最后，可以将Ross的最基本的APT表示出来，但这借助于一个线性代数的定理。因为投资者的需求向量w是正交于一个常数向量1，正交于因子的其他矩阵B和近似正交于期望收益率向量R~，那线性代数结论指出1：期望收益率向量1可以表示成常数向量和因子的其他矩阵的线性组合，也即存在K+1个系数K,......,10，成立BR1~0(4-9)这里KT,......,21，如果截面期望收益率可以写成（4-9），那么任何一个资产的收益率就可表示称：iKKiiR110~(4-10)这就是Ross关于资产定价的关键结论，当我们特别的考虑到，如果有一个资产（用0表示）与K个共同因子都没有关系，或者进一步相对这K种系统风险来说，都是无风险，那么000201K，记fR0那么方程（4-10）中的fR就是市场上的无风险收益。因此有定理：定理4.3：在假设（1）—（5）条件下，如果所有的残差方差都有上界，那么在资本市场的任何一个非空子集中，任何资产的期望收益都可表示为：iKKifiRR11~（4-11）这里fR为市场的无风险收益。现在当完成了Ross的APT后，回顾这个描述性说明的过程，仍然发现由不够清晰的地方，那就是由（4-6）至（4-9）的过程。显然（4-9）是一个线性代数的结论，这是一个严格的结论，但（4-6）式仅是一个渐进的表示式，因而导致（4-8）也是渐进的表示式，因此严格意义上线性代数的结论不能用在一个渐进表示式上。这样妖构造一个严格的理论还需要作某些重要的修正。这里要注意两点，首先是非套利条件可以应用在一个渐进的形式上，其次是APT可以有精确定价的功能。3：渐进套利定价理论为了解决前面不够严格的间进套利定价理论，Huberman(1982)和Insensoll(1984)精心构造了APT的精确的分析框架，为此，首先定义了一个套利资产组合的渐近序列：1定义4.3(Huberman,1982)：一个套利资产组合的渐近序列是指一个资产组合的序列lllll，满足下列条件：01Tlw（4-12）)]~()[(limREwETll（4-13）0)]~()[(limREwVarTll（4-14）要注意的是这里的指标l的意义，l代表了一个资本市场中有l个风险资产的一个非空子集，在上标时，代表了在这个非空子集上由这l个风险资产组成的资产组合的权数，而在下标时，代表了在这l个风险资产上的每个的投资份额。其中条件（4-12）保证了在任何一个非空子集中都可形成一个无成本的资产组合序列；条件（4-13）隐含了这个资产组合的期望收益会随着资产个数的样大而趋于无穷；最后条件（4-14）指出，用收益方差来表示资产组合的度量是随着资产个数的增加而趋于零。为了理解Huberman(1982)建立的APT定价残差的有界性，我们运用（4-1）与(4-2)式，可知资产收益序列由下列非稳定的K因子模型生成：lllllfBRER]~[~，,,2,1l（4-15）这个模型要比前面标准的K因子模型更加一般化，因为期望收益和因子贝它会随着资本市场序列而变化。在这个框架下，方差协方差矩阵的分解表示为：1:第l个资本市场（子集）包含着l个资产，而第1l个资本市场（子集）是包含着第l个资本市场的l个资产再加一个资产。lTlllBB)(，,,2,1l（4-16）这里，l表示资产收益的协方差矩阵，所以lB是因子荷载矩阵，l是残差的协方差矩阵。如果资本市场不存在套利，那么固定每一个l，根据定理4.3，我们可得到如下结论：定理4.4(Huberman,1982)2：如果风险资产的收益是由因子模型(4-15)生成，并且资本市场不存在任何满足(4-12),(4-13),(4-14)的套利可能，那么存在实数lkll,,,10和有限数，使得：llllTlllllTlBREBREVV001)~(1)~(（4-17）其中lllllVVVV,,21是在第l个资本市场中按照APT定价的残差项向量。证明：（反证法）3，如果定理不成立，即至少存在一组实数k,,,10和一个套利资产组合的渐近序列，使得有一个资产组合P，它不满足(4-12),(4-13),(4-14)条件，但使得(4-17)式不成立，而变为：llllTllllllTllBREBREVV001)~(1)~(limlim（4-18）根据线性代数的正向投影原理，在固定一个l时，任何一个向量lRE)~(可以正交分解为在l1与lB的行向量构成的线性子空间及与它们正交的仅由lV构成的线性子空间上，这就有：llllllVBRE1)~(0（4-19）这里有01lTlV，0lTlBV，而且Tlllll),,,(21，lllllVVVV,,21。现在考虑这样一个资产组合：llTVw其中plTllVV2][，p是[-1,-21]区间的任意常数。根据与lV与l1的正交性，可知：2：这是Huberman(1982)的定理1。3：这里的反证法证明是由作者给出的，如有错误并不表明定理本身的错误。011lTlllTlVw（4-20）这表示是第l个市场中的一个套利资产组合，它的收益为：lTllwRwR~~由定理条件可知，它是由K因子模型（4-15）生成，所以将该式代入，并由（4-12）至（4-14）条件，得：lTllllllTllwREVfBREwR~]~[~