第40讲平面与空间直线(第1-2课时-共线共点问题)

第40讲平面与空间直线-共线、共点问题（第1-2课时）平面与空间直线空间作图的距离公垂线及两异面直线间异面直线所成的角证明与判断异面（证明）相交（等角定理）性质三线平行）判断（公理平行空间直线的位置关系共面问题共线问题共点问题性质应用（确定平面）及其推论公理一条公共直线）（相交两平面有且只有公理（判定直线在平面内）公理性质概念平面4321重点：1．平面的性质；2．空间直线的位置关系的判断；3．异面直线的证明4.两异面直线的夹角。难点：1．平面的公理、推论及其应用；2．空间直线的位置关系的判断。1．掌握平面的基本性质，能证明共线、共点、共面问题；2．能画出空间两条直线的各种位置关系的图形，掌握两条直线平行与垂直的判定和性质；3．掌握两条直线所成的角和距离的概念，能求出已给出公垂线时的两异面直线的距离。判断两直线的位置关系，异面直线所成的角。1．平面⑴平面的概念平面是不定义的几何元素，它可以向各方任意延伸。⑵平面的基本性质（三条公理及其推论）神经网络准确记忆！重点难点好好把握！考纲要求注意紧扣！命题预测仅供参考！考点热点一定掌握！公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。该公理是判定直线在平面内的理论依据，即：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们相交于过这个点的一条直线。该公理是两个平面相交的性质，即两个平面相交，有且只有一条交线，两个平面的公共点必在它们的交线上。公理3：不共线的三点确定一个平面。公理3的三条推论如下：①推论1：直线和直线外一点确定一个平面；②推论2：两相交直线确定一个平面；③推论3：两平行直线确定一个平面。该公理及其推论是判断共面问题的理论依据。说明：在证明过程中，这三条公理及其推论如果作为大前提，可不必明说。掌握确定平面的方法是很有用处的，有时我们需要判定空间图形的某一部分是否在一个平面内，如果在，那么我们就可以充分利用平面几何的知识来解决问题。⑶平面性质的应用平面性质以及某些定理常用来证明共点、共线、共面、异面问题，大概有下面这些：①公理1；②公理3；③公理3的推论1；④公理3的推论2；⑤公理3的推论3；⑥如果两个平面垂直，那么经过一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内（教材例题）；⑦过一点垂直于已知直线的所有直线，都在过这点而垂直于已知直线的平面内；⑧已知一条直线与一个平面平行，如果过这平面内的一点而与已知直线平行的直线一定在已知平面内（教材习题）；⑨平面内一点与平面外一点的连线，和平面内不经过该点的直线是异面直线（教材例题）。注意尽量把空间问题转化成平面问题来做。这样做的好处是便于利用平面几何的定理以及我们熟悉的解题方法。⑷平面几何定理与立体几何定理的内在联系序号平面几何定理→立体几何定理1.三线平行公理可移植三线平行公理可类比平行于同一平面的两平面平行。2.两组对应边分别平行且方向相同的角相等。可移植两组对应边分别平行且方向相同的角相等。3.两组对应边分别垂直的角相等或互补。不可以4.平行线分线段成比例可类比平行平面分线段成比例5.两平行线间的距离处处相等。可类比两平行平面间的距离处处相等。6.垂直于两平行线之一的直线垂直于另一直线。可类比垂直于两平行平面之一的直线垂直于另一平面。7.垂直于同一直线的两直线平行。不可移植可类比垂直于同一平面的两直线平行。垂直于同一直线的两平面平行。8.两平行线之一垂直于第三条直线，则另一直线也垂直于第三条直线。可类比两平行线之一垂直于平面，则另一直线也垂直于平面。9.过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行。可移植过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行。10.可类比过平面外一点只能作一个平面与已知平面平行。11.三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。可类比三面角中，两个面角之和大于第三个面角，两个面角之差小于第三个面角。12.多边形的外角和等于360°。多面角的所有面角的和小于360°。2．空间作图⑴空间作图公法①如果确定一个平面的条件已知，则认为此平面可作。②如果已知两个平面相交，则认为交线可作。③如果已知空间的一个平面，则认为可以在这个平面内完成平面几何中能完成的一切作图。一个空间图形就是通过有限次使用上述三种基本作图而得到的。例．过直线a外一点A，作直线b∥a。作法：①过直线a和A作平面；②在内过A作b∥a。例．过两条已知异面直线a、b中的一条a，作平面∥b。作法：①在a上任取一点A，过A作直线c∥b；②过a、c作平面。例.画相交平面第1步第2步第3步第4步例．画水平放置的几何图形（略）⑵作辅助线和辅助面作辅助线和辅助面时常用的方法有：①若线面平行，则过直线作平面与已知平面相交；②若面面平行，则作平面与两已知平面相交；③若面面垂直，则在一面内作直线垂直于两平面的交线；④把已知条件中的“空间角”和“空间距离”先作出来。作辅助线时要考虑实际操作是否可行？是否方便？例如，已知直线a∥平面，要在平面内作一条直线与a平行，一般不说“在平面内作一直线与直线a平行”，因为如果按照这样的作法在实物上去画这条线时，是画不出来的。遇到这种情况应该说“过a作一平面和平面相交，它们的交线就是符合要求的直线”。⑶作图时要注意下面的几点：①一个字母是表示点、线还是面应该预先交待清楚。②被遮住的线段（包括表示平面的平行四边形的边）要画成虚线或干脆不画。③调整图形的位置，使虚线尽可能少。④画“直线在平面内”的直观图，要把直线（用线段表示）画在平面（用平行四边形表示）的内部。⑤画一条线时，不要让它通过其它线的交点（除非确实通过）或某些特征点。例如，下面的左图应改画成右图：3.证三线共点方法：①先证两线交于一点，再证第三线过此点。②证第一、二条直线交于一点，第二、三条直线交于另一点，再证此两点重合。例．求证平行六面体的对角线交于一点。证明：如图，作截面DBCA，连接CA，BD，则DBCA为平行四边形，且CA，BD互相平分并交于一点，设为1O，同理，BDBD为平行四边形，且BD、BD互相平分并交于一点，设为2O，则BD同时被1O和2O平分，∴1O和2O重合，设为O。同理可证，CA与BD亦交于O且被O点平分，∴平行六面体的对角线交于一点。点评：本题使用方法②。4．证三点共线方法：①证明三点在两个平面的交线上。②证明第三点在另两点的连线上，为达此目的，有时需要进行计算。③反证法。例．如图，线段AB平面C，AA于A，BB于B，求证A、B、C在一条直线上。证法一：∵AA，BB，∴AA∥BB，过BBAA、作平面，BA，∵AB，ABC，∴C，又C，∴BAC，∴A、B、C在一条直线上。点评：本证法使用方法①。证法二：假设BAC，∵BA，A，∴AB与BA异面，∴AA与BB异面，这与AA∥BB（∵AA，BB，）矛盾，∴A、B、C在一条直线上。点评：本证法使用方法③。例．如图，ABC的一边AB在平面内，C在平面外，C在平面内的射影为H，且13CA，5HA，又E、F分别是BC、AC的中点，求EF到平面的距离。分析：首先需要在图上作出这个距离，过F作FG于G，进一步得确定G点的位置，凭直感，G似乎应在HA上，这就出现了证三点H、G、A三点共线的问题，试证之。∵CH，HA是CA在平面内的射影，∴CA上任一点在平面内的射影应在HA上，∴HAG，剩下的就是计算工作了。5．证诸点不共线例4．已知不共面的四点，证明它们中间任何三点都不在同一直线上。证明：假设其中某三点共线，则此三点所在的直线与第四点确定一个平面，那么这四点共面，这与已知矛盾，故它们中间任何三点都不在同一直线上。LJ0101-03平面的概念与性质123456平面的概念√√平面的基本性质（三条公理及其推论）√√√√空间作图证三线共点√证三点共线√√证诸点不共线●1．通过同一点的四条直线，过其中每两条直线作平面，共可作多少个平面？提示：本题的关键分情况考虑。因为四条直线中共面的直线越多，可作的平面就越少，所以我们应该根据共面直线的多少来分类。答：⑴当四条直线共面时，可作一个平面；⑵当四条直线中只有三条直线共面时，可作四个平面；⑶当四条直线中任意三条直线不共面时，可作六个平面解题错误：对于第⑶种情况，说“当两条共面时”或“两两共面时”。错误原因分析：这种说法没有排除三条直线共面的可能。2．一个平面把空间分成几部分？两个不重合的平面,三个不重合的平面呢？答：一个平面把空间分成2部分。两个不重合的平面把空间分成3或4部分（看平面是平行还是相交）。三个不重合的平面把空间分成4、6、7或8部分，如下图：解题错误：答不出“8”。3．如图，已知四面体ABCD中，AB、CD、AC、BD、AD、BC的中点依次为E、F、G、H、M、N，求证EF、GH、MN三线共点。证明：连接EN、NF、FM、ME，∵E、N、F、M为中点，∴ENAC21FM，∴ENFM为平行四边形，其对角线EF、MN相交于O点且互相平分，同理，NHMG为平行四边形，其对角线MN、GH相交于O点且互相平分，而O、O均为MN的中点，故O、O重合。∴EF、GH、MN三线共点。点评：本题证三线共点。4．如图，正方体ABCD-1111DCBA的棱长为a，E、F分别是AB、DC1的中点，过1B作HB1截面ECFA1于H，求HB1的长。能力测试认真完成！参考答案仔细核对！（分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图。）解：如图3，连接EH、FH、EB1、FB1、CB1，∵EB1=FB1，9011HFBHEB，∴HEB1≌HFB1，∴EH=FH，∴H在EF的中垂线上，又∵11FACFECEA，∴截面ECFA1是菱形，∴H在CA1上，在CBA11中，aCB21，aCA31，由CBBAHBCA111112121得aaHBa231，∴aHB361。点评：本题证三点共线。5．如图，不在同一平面内的ABC和CBA，若直线AB直线BA=P，直线BC直线CB=Q，直线AC直线CA=R，则P、Q、R三点共线。证明：∵ABBA=P，∴平面ABC平面CBA=b，且bP，而QBC，∴Q平面ABC，又QCB，∴Q平面CBA，∴Qb，同理Rb，∴P、Q、R三点共线。