第四章一元函数积分学导学

第四章一元函数积分学导学一、学习要求1、理解原函数与不定积分概念，弄清两者之间的关系。会求当曲线的切线斜率已知时，满足一定条件的曲线方程。知道不定积分与导数（微分）之间的关系。了解定积分的定义设f(x)在[a,b]上连续，存在F（x）使得F‘（x）=f(x)，则2、熟记积分基本公式，熟练掌握不定积分的直接积分法。了解不定积分和定积分的性质，尤其是：3、熟练掌握第一换元积分法（凑微分法）注意：不定积分换元，要还原回原变量的函数；定积分换元，一定要换上、下限，直接计算其值。4、熟练掌握分部积分法。分部积分公式为：会求被积函数是以下类型的不定积分和定积分（1）幂函数与指数函数相乘。（2）幂函数与对数函数相乘。（3）幂函数与正（余）弦函数相乘。5、知道无穷限积分的收敛性，会求无穷限积分。6、知道变上限定积分概念，知道是f(x)的原函数，即7、记住奇偶函数在对称区间上的定积分性质，即（1）若f(x)是奇函数，则有)())((xfdxxfdxd)())((xfdxxfdxdbaabdxxfdxxf)()(bccabadxxfdxxfdxxf)()()(vduuvudvdxvuuvdxuv或''babababababavduuvudvdxvuuvdxuv||''或babaaFbFxFdxxf)()()()(|)()()(xfdttfxxa是aadxxf0)(（2）若f(x)是偶函数，则有本章重点不定积分、原函数概念，积分的计算二、学习方法看例子、尝试做、不懂就问三、学习内容（一）、原函数概念定义一：设f(x)是定义在区间D上的函数，若存在函数F(x)对任何x∈D,都有F(x)’=f(x)(或df(x)=f(x)dx)则称F(x)为f(x)在区间D上的原函数(简称为f(x)的原函数)如:已知函数f(x)=sinx函数F1(x)=-cosx和F2(x)=-cosx+2都是f(x)=sinx的原函数。∵(C’)=0,∴F(x)=-cosx+C都是f(x)=sinx的原函数注：一个函数的原函数若存在，则有无数个。定理1，若F(x)是f(x)在某区间上的原函数，则F(x)+C(C为任意常数)包含了f(x)的全体原函数。如：在任一点x处切线斜率为2x的曲线方程是y=x2+c2、不定积分的定义定义2，对于某区间D上的函数f(x)，若存在原函数，则称f(x)为可积函数，并将f(x)的全体原函数记为∫f(x)dx称它是函数f(x)的不定积分,其中f(x)是被积函数,x是积分变量,∫是积分符号。若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的不定积分为∫f(x)dx=F(x)+C(C称为积分常数)注:(1)积分号∫表示对函数f(x)实行求原函数的运算,即要找出导函数等于已知函数f(x)的(原)函数F(x)+C(2)x是积分变量,它与用什么字母表示无关,所以式中将x换成u仍成立,即∫f(u)du=F(u)+C(C为积分常数)(3)“求一个已知函数f(x)的全体原函数”可表示为:∫f(x)dx=F(x)+C(4)求一个已知函数f(x)的全体原函数的方法为:①先求一个原函数F(x)即F’(x)=f(x)②再由式即可求出全体原函数.aaaadxxfdxxfdxxf00)(2)(2)(例1、已知曲线y=F(x)在任一点x处的切线斜率为2x，且曲线过(1,2)点，求此曲线方程：解：由导数的几何意义知：k=F’(x)=2x∵(x2)’=2x∴F(x)=x2是2x的一个原函数。∴y=∫2xdx=x2+c又曲线过(1,2)点,把x=1,x=2代入上式得2=12+C即C=1所以,所求曲线方程为:y=x2+1例2经过调查发现,某产品的边际成本可由下列函数给出2q+3某中,q是产量数,已知生产的固定成本为2,求生产成本函数。解：设所求生产成本函数为C(q)，由题知：C’(q)=2q+3∵(q2+3q)’=2q+3∴F(q)=q2+3q是2q+3的一个原函数∴C(q)=∫(2q+3)dq=q2+3q+c0(c0是积分常数)由已知生产的固定成本为2,即生产是q=0时,成本是2,代入上式,得C(0)=02+3·0+C0=3得C0=2所以,生产成本函数为:C(q)=q2+3q+2(二)、积分基本公式1、不定积分与导数(微分)之间的关系2、导数基本公式积分基本公式注：上述积分公式中x可以换成u(三)、基本积分法1、不定积分的性质性质1：两个函数之和(差)的不定积分，等于它们的不定积分之和(差)即性质2：在求不定积分时，非0常数因子可以提到积分号外面。即2、直接积分法：得用不定积分的运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法。dxxfdxxfdxfdxxf)()()()('或CxfxdfCxfdxxf)()()()('或xxxxxxxxeeaaaxxaaaxxxCxxxxxa2'2'''''''1''sin1)(cotcos1)(tansin)(coscos)(sin)(ln)(1)(ln)10(ln1)(log)(0)(且CxdxxCxdxxCxxdxCxxdxCedxeCaadxaCxdxxaCxdxxCdxxxxxcotsin1tancos1cossinsincosln||ln1)1(110221dxxgdxxfdxxgxf)()()()()0()()(常数为非kdxxfkdxxdf举例：书P155～157例1：求下列不定积分例2、某商场销售商品的边际收入是64q-q2(万元/千件)某中q是销领带量(千件)，求收入函数及收入最大时的销售量。解：设收入函数为R(q)，由题知R’(q)=64q-q2得由q=0,R(q)=0,知，C=0因此，所求收入函数为收入最大时的销售量是使的q值，得q=64(q=0舍去)所以获得最大收入时的销售量为64(千件)dxxxx)sin1()1(dxexx)23()2()sin11()sin1()1(xxdxxxx解Cxxxdxdxxdxcos||lnsin11dxeedxexxxx))2(3()23()2(Ceeedxedxexxxx)2ln()2(3)2(3dqqqdqqRqR)64()(')(2CqqCqqdqqqdq3232231323126464)(3132)(32万元qqqR064)(3'qqqR3、凑微分法(第一换元法)由应将微分dx凑成使变量x改为3x，即应将微分dx凑成使变量一致变为3x-1，即一般地，凑微分法是先将∫f(x)dx中的f(x)dx凑成微分形式(可统一变量的微分形式)dxeCeduexuu3知计算)3(31xdCexuCedueuxxdexdedxexuuxxx31331313)3(31)3(31333还原视dxxCuduu101110)13(111知计算)13(31xd)13()13(31)13(31)13()13(101010xdxxdxdxxCudxuux11101113131)13(视Cxxu11)13(33113还原duufuxuxudxufdxxf)(1)())(())((1)(视))((1)()(1CxuFxuuCuF还原亦即第一换元法。注：关键是将f(x)凑成f1(u(x))·u’(x)且∫f1(u(x))u’(x)dx可利用积分基本公式积出。书P158～159注：关键是将f(x)凑成f1(u(x))·u’(x)且∫f1(u(x)u’(x)dx)可利用积分基本公式积出.书P158～159例3:求下列不定积分:解:(1)用凑微分法及积分基本公式(2)用凑微分法及积分基本公式(3)用凑微分法及积分基本公式dxx131)1(dxeexx)1()2(dxxx21sin)3(dxxx21)4(得,||ln1Cuduu)13(13131)13(31131131xdxxdxdxxCuduuux||ln3113113视Cxxu|13|ln3113还原得,5154Cuduu)()1()1()1(444xxxxxxededxeedxeeCeedexxx54)1(51)1()1()1(1sin11sin1sin22xdxdxxxdxxx得,cossinCuuduCxxdx)1cos()1(1sin(4)凑微分法及积分基本公式4、分部积分法(1)分部积分公式定理4.2设u(x)，v(x)是可微函数，则有∫u(x)·v’(x)dx=u(x)v(x)-∫u’(x)·v(x)dx注:①分部积分公式简写为∫udv=uv-∫vdu②分部积分关键是:a:被积函数f(x)可以写成u(x)v’(x)的特殊乘积形式;b:等式右边的积分∫u’(x)v(x)dx容易计算出结果。③1)若f(x)是幂函数乘以ex或sinx、cosx常选择幂函数为u(x)，把ex、sinx、cosx写成v’(x)形式。2)若f(x)是幂函数乘以lnx,常选择lnx为u(x)，把幂函数写成v’(x)形式。3)若f(x)是ex乘以sinx、cosx、u(x)、v’(x)可以任意选取。得,322321Cuduu)21(1112222xdxxdxxdxxx)1(121)(121)(121222222xdxxdxxdxCxCxxdx2322322212)1(31)1(3221)1()1(21如：求下列不定积分解：(2)分部积分的列表法：自学四、重难点解析（一）、原函数与不定积分的概念若F(x)的导数为f(x)，即xfxF,则F(x)是f(x)的一个原函数，且原函数具有下列性质：若F(x)是f(x)是一个原函数，则F(x)+C仍是f(x)的原函数，其中C为任意常数。若f(x)有原函数存在，则有无穷多个，且任意两原函数之间仅相差一个常数。求已知函数的不定积分即为求已知函数的全体原函数。二、不定积分的性质1、与求导(求微分)为互逆运算2、运算性质其中k1,k2是任意实数。3、积分基本公式dxxex)1(dxxx2ln)2(xdxxcos)3(2xdxexcos)4()()1(xxexddxxe)(()(xdexedxxexexxxxCexexx)1(lnln1ln)2(22xdxxdxxdxxxdxxxxxxdxxx11ln1)(ln1ln1Cxxxdxxxx1ln11ln12)(sinsin)(sincos)3(2222xxdxxxdxxdxx)(cos2sinsin2sin22xdxxxxdxxxxCxxxxxsin2cos2sin2)(sincos)4(xdexdxexx)(sinsinxxexdxexdxexexxsinsin)cos(sinxdexexx)()cos(cossinxxxedxxexe)cos(sincos2xxexdxexx)cos(sin2cosxxexdxexxCxFdxxf)()()()(xfdxxfdxddxxfdxxfd)()(Cxfdxxf)()('Cxfxdf)()(dxxfkdxxfkdxxfkxfk)()())()((22112211正如导数公式是求导运算的基础一样，积分基本公式是积分运算的基础，在积分中无论采