第四章三角函数与三角形4-4两角和与差的三角函数

第4章第4节一、选择题1．在△ABC中，若cosA＝45，cosB＝513，则cosC的值是()A.1665B.5665C.1665或5665D．－1665[答案]A[解析]在△ABC中，0Aπ，0Bπ，cosA＝45，cosB＝513，∴sinA＝35，sinB＝1213，所以cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinA·sinB－cosA·cosB＝35×1213－45×513＝1665，故选A.2．(2010·烟台中英文学校质检)sin75°cos30°－sin15°sin150°的值为()A．1B.12C.22D.32[答案]C[解析]sin75°cos30°－sin15°sin150°＝sin75°cos30°－cos75°sin30°＝sin(75°－30°)＝sin45°＝22.3．(2010·吉林省质检)对于函数f(x)＝sinx＋cosx，下列命题中正确的是()A．∀x∈R，f(x)2B．∃x∈R，f(x)2C．∀x∈R，f(x)2D．∃x∈R，f(x)2[答案]B[解析]∵f(x)＝2sinx＋π4≤2，∴不存在x∈R使f(x)2且存在x∈R，使f(x)＝2，故A、C、D均错．4．(文)(2010·北京东城区)在△ABC中，如果sinA＝3sinC，B＝30°，那么角A等于()A．30°B．45°C．60°D．120°[答案]D[解析]∵△ABC中，B＝30°，∴C＝150°－A，∴sinA＝3sin(150°－A)＝32cosA＋32sinA，∴tanA＝－3，∴A＝120°.(理)已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于()A.5π12B.π3C.π4D.π6[答案]C[解析]∵α、β均为锐角，∴－π2α－βπ2，∴cos(α－β)＝1－sin2α－β＝31010，∴sinα＝55，∴cosα＝1－552＝255.∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝22.∵0βπ2，∴β＝π4，故选C.5．(文)(2010·广东惠州一中)函数y＝sinπ3－2x＋sin2x的最小正周期是()A.π2B．πC．2πD．4π[答案]B[解析]y＝32cos2x－12sin2x＋sin2x＝sin2x＋π3，∴周期T＝π.(理)函数f(x)＝(3sinx－4cosx)·cosx的最大值为()A．5B.92C.12D.52[答案]C[解析]f(x)＝(3sinx－4cosx)cosx＝3sinxcosx－4cos2x＝32sin2x－2cos2x－2＝52sin(2x－θ)－2，其中tanθ＝43，所以f(x)的最大值是52－2＝12.故选C.6．(文)(2010·温州中学)已知向量a＝(sin75°，－cos75°)，b＝(－cos15°，sin15°)，则|a－b|的值为()A．0B．1C.2D．2[答案]D[解析]∵|a－b|2＝(sin75°＋cos15°)2＋(－cos75°－sin15°)2＝2＋2sin75°cos15°＋2cos75°sin15°＝2＋2sin90°＝4，∴|a－b|＝2.(理)(2010·鞍山一中)已知a＝(sinα，1－4cos2α)，b＝(1,3sinα－2)，α∈0，π2，若a∥b，则tanα－π4＝()A.17B．－17C.27D．－27[答案]B[解析]∵a∥b，∴1－4cos2α＝sinα(3sinα－2)，∴5sin2α＋2sinα－3＝0，∴sinα＝35或sinα＝－1，∵α∈0，π2，∴sinα＝35，∴tanα＝34，∴tanα－π4＝tanα－11＋tanα＝－17.7．(文)(2010·河南许昌调研)已知sinβ＝35(π2βπ)，且sin(α＋β)＝cosα，则tan(α＋β)＝()A．1B．2C．－2D.825[答案]C[解析]∵sinβ＝35，π2βπ，∴cosβ＝－45，∴sin(α＋β)＝cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2.(理)(2010·杭州模拟)已知sinx－siny＝－23，cosx－cosy＝23，且x，y为锐角，则tan(x－y)＝()A.2145B．－2145C．±2145D．±51428[答案]B[解析]两式平方相加得：cos(x－y)＝59，∵x、y为锐角，sinx－siny0，∴xy，∴sin(x－y)＝－1－cos2x－y＝－2149，∴tan(x－y)＝sinx－ycosx－y＝－2145.8．已知α、β均为锐角，且tanβ＝cosα－sinαcosα＋sinα，则tan(α＋β)的值为()A．－1B．1C.3D．不存在[答案]B[解析]tanβ＝cosα－sinαcosα＋sinα＝1－tanα1＋tanα＝tanπ4－α，∵π4－α，β∈－π2，π2且y＝tanx在－π2，π2上是单调增函数，∴β＝π4－α，∴α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tanπ4＝1.9．(2010·全国新课标理，9)若cosα＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝()A．－12B.12C．2D．－2[答案]A[解析]∵cosα＝－45且α是第三象限的角，∴sinα＝－35，∴1＋tanα21－tanα2＝cosα2＋sinα2cosα2cosα2－sinα2cosα2＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα2＝cosα2＋sinα22cosα2－sinα2cosα2＋sinα2＝1＋sinαcos2α2－sin2α2＝1＋sinαcosα＝1－35－45＝－12，故选A.[点评]本题解题思路广阔，由cosα可求sinα，也可求sinα2及cosα2，从而求出tanα2.也可以利用和角公式将待求式变形为tanπ4＋α2，再用诱导公式和二倍角公式等等．10．(2011·浙江五校联考)在△ABC中，已知tanA＋B2＝sinC，给出以下四个论断：①tanAtanB＝1；②1sinA＋sinB≤2；③sin2A＋cos2B＝1；④cos2A＋cos2B＝sin2C.其中正确的是()A．①③B．②③C．①④D．②④[答案]D[解析]因为在三角形中A＋B＝π－C，所以tanA＋B2＝tanπ－C2＝cotC2＝cosC2sinC2，而sinC＝2sinC2cosC2，∵tanA＋B2＝sinC，∴cosC2sinC2＝2sinC2cosC2.因为0Cπ，∴cosC2≠0，sinC20，故sin2C2＝12，∴sinC2＝22，∴C＝π2，A＋B＝π2，∴sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝2sinA＋π4∈(1，2]，排除A、C；cos2A＋cos2B＝cos2A＋sin2A＝1＝sin2C，故选D.二、填空题11．(2010·哈三中)已知tanα＋π6＝12，tanβ－7π6＝13，则tan(α＋β)＝________.[答案]1[解析]tan(α＋β)＝tan(α＋β－π)＝tan[(α＋π6)＋(β－7π6)]＝12＋131－12×13＝1.12．(2010·重庆南开中学)已知等差数列{an}满足：a1005＝4π3，则tan(a1＋a2009)＝________.[答案]－3[解析]由等差数列的性质知，tan(a1＋a2009)＝tan(2a1005)＝tan8π3＝tan－π3＝－3.13．(2010·山师大附中模考)若tan(x＋y)＝35，tan(y－π3)＝13，则tan(x＋π3)的值是________．[答案]29[解析]tan(x＋π3)＝tan[(x＋y)－(y－π3)]＝tanx＋y－tany－π31＋tanx＋y·tany－π3＝35－131＋35×13＝29.14．(2010·上海奉贤区调研)已知α，β∈(0，π2)，且tanα·tanβ1，比较α＋β与π2的大小，用“”连接起来为________．[答案]α＋βπ2[解析]∵tanα·tanβ1，α，β∈0，π2，∴sinα·sinβcosα·cosβ1，∴sinα·sinβcosα·cosβ，∴cos(α＋β)0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋βπ2.三、解答题15．(2010·福建福州市)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC.(1)求角B的大小；(2)若|BA→－BC→|＝2，求△ABC的面积的最大值．[解析](1)在△ABC中，∵(2a－c)cosB＝bcosC，根据正弦定理有(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin(C＋B)，即2sinAcosB＝sinA.∵sinA0，∴cosB＝12，又∵B∈(0，π)，∴B＝π3.(2)∵|BA→－BC→|＝2，∴|CA→|＝2，即b＝2.根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，有4＝a2＋c2－ac.∵a2＋c2≥2ac(当且仅当a＝c时取“＝”号)，∴4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，即ac≤4，∴△ABC的面积S＝12acsinB＝34ac≤3，即当a＝b＝c＝2时，△ABC的面积的最大值为3.16．(文)(2010·北京延庆县模考)已知函数f(x)＝sin2x＋π6＋sin2x－π6－2cos2x.(1)求函数f(x)的值域及最小正周期；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．[解析](1)f(x)＝32sin2x＋12cos2x＋32sin2x－12cos2x－(cos2x＋1)＝232sin2x－12cos2x－1＝2sin2x－π6－1.由－1≤sin2x－π6≤1得，－3≤2sin2x－π6－1≤1.可知函数f(x)的值域为[－3,1]．且函数f(x)的最小正周期为π.(2)由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)解得，kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)．所以y＝f(x)的单调增区间为[kπ－π6，kπ＋π3](k∈Z)．(理)(2010·辽宁锦州)已知△ABC中，|AC|＝1，∠ABC＝120°，∠BAC＝θ，记f(θ)＝AB→·BC→，(1)求f(θ)关于θ的表达式；(2)求f(θ)的值域．[解析](1)由正弦定理有：|BC|sinθ＝1sin120°＝|AB|sin60°－θ，∴|BC|＝sinθsin120°，|AB|＝sin60°－θsin120°∴f(θ)＝AB→·BC→＝|AB→|·|BC→|cos(180°－∠ABC)＝23sinθ·sin(60°－θ)＝23(32cosθ－12sinθ)sinθ＝13sin(2θ＋π6)－16(0θπ3)(2)∵0θπ3，∴π62θ＋π65π6，∴12sin(2θ＋π6)≤1，∴0f(θ)≤16，即f(θ)的值域为(0，16]．17．(文)(2010·湖北黄冈)如图，平面四边形ABCD中，AB＝13，三角形ABC的面积为S△ABC＝25，cos∠DAC＝35，AB→·AC→＝120.(1)求BC的长；(2)cos∠BAD的值．[解析](1)由S△ABC＝25得，12|AC→||AB→|·sin∠CAB＝25由AC→·AB→＝120得，|AC→|·|AB→|·cos∠CAB＝120，以上两式相除得，tan∠CAB＝512，∴sin∠CAB＝513，cos∠CAB＝1213，∴|AC→||AB→|＝130，又∵|AB→|＝13，∴|AC→|＝10，在△ABC中，由余弦定理得，|BC→|2＝102＋132－2×10×13×