九年级下册《相似三角形》全章复习测试卷(教师版)知识点+测试题详细答案

让更多的孩子得到更好的教育《相似》全章复习巩固【知识网络】【要点梳理】一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.注：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．3.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（2）若a:b=b:c，则2b=ac（b称为a、c的比例中项）．二、相似三角形1.相似三角形的判定:判定方法：（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.让更多的孩子得到更好的教育2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.(3)相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。3.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．三、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.【典型例题】类型一、相似图形及比例线段1.已知:a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28,求3a-2b+c的值.【答案】∵a:b:c=3:5:7设a=3k,b=5k,c=7k∵2a+3b-c=28∴6k+15k-7k=28，∴k=2∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12举一反三如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝（）A．7B．7.5C．8D．8.5【答案】B.让更多的孩子得到更好的教育类型二、相似三角形2.如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)∠ABC=________，BC=________；(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由.【答案】(1)135°，(2)△ABC和△DEF相似(或△ABC∽△DEF).因为，，所以.又因为∠ABC=∠DEF=90°+45°=135°，所以△ABC∽△DEF.3.在正方形ABCD中，P是BC上的点，BP=3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．【答案】∵BP=3PC，Q是CD的中点，∴12CPCQDQAD，又∵∠ADQ=∠QCP=90°，∴△ADQ∽△QCP.让更多的孩子得到更好的教育4.如图所示，在△ABC和△DBE中，若.(1)△ABC与△DBE的周长差为10cm，求△ABC的周长；(2)△ABC与△DBE的面积之和为170cm2，求△DBE的面积．【答案】(1)∵，∴△ABC∽△DBE.∴，设△ABC的周长为5kcm，△DBE的周长为3kcm，∴，，，∴△ABC的周长为.(2)∵△ABC∽△DBE，∴.设，.∴，解得k=5，∴.【总结升华】相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．5.如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD，DC上(点E与点A，D不重合)，且∠BEF=120°，设，.(1)求y与x的函数解析式；(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？【答案】(1)在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，所以∠A=∠D=120°，让更多的孩子得到更好的教育所以∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°.因为∠BEF=120°，所以∠AEB+∠DEF=180°-120°=60°，所以∠ABE=∠DEF.所以△ABE∽△DEF，所以.因为，，所以，所以y与x的函数解析式是.(2)，所以当时，y有最大值，最大值为.举一反三：1、下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）.A．B．C．D．【答案】B.2、如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（）A．2：5：25B．4：9：25C．2：3：5D．4：10：25【答案】D.让更多的孩子得到更好的教育3、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.（1）求证：△COM∽△CBA；（2）求线段OM的长度.【答案】（1）证明：A与C关于直线MN对称，∴ACMN，∴∠COM=90°，在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠COM=∠B，又∠ACB=∠ACB，∴△COM∽△CBA，（2）在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴OC=5，△COM∽△CBA，∴OCOM=BCAB，∴OM=154.4、如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是（）A．63B．123C．183D．243【答案】C；NMDACB让更多的孩子得到更好的教育【解析】由MC＝6，NC＝23，∠C＝90°得S△CMN=63，再由翻折前后△CMN≌△DMN得对应高相等；由MN∥AB得△CMN∽△CAB且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得S△CMN：S四边形MABN=1:3，故选C.5、如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少?【答案】(1)因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以.又因为AB=8，AC=6，，，所以，即，自变量x的取值范围为.(2).所以当时，S有最大值，且最大值为6.让更多的孩子得到更好的教育巩固练习（一）一、选择题1．如图，已知，那么下列结论正确的是()A．B．C．D．2.在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为()A．8，3B．8，6C．4，3D．4，63．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是()4.如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是()A．∠APB=∠EPCB．∠APE=90°C．P是BC的中点D．BP：BC=2：34题图5题图5.如图，在△ABC中，EF∥BC，12AEEB,，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9B．10C．12D．136.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A．∠E=2∠KB．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL让更多的孩子得到更好的教育二、填空题7.在□ABCD中，在上，若，则___________.8.如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE与△ABC的面积之比为_______，△CFG与△BFD的面积之比为________.9.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.10.在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.11.若,则的值为.12．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.13.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为_________.第14题第15题14.－油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，则桶内油面的高度为.三、解答题15.如图，等腰直角△ABC的斜边AB所在的直线上有点E、F，且∠E+∠F=45°，AE=3，设AB=x，BF=y，求y关于x的函数解析式.让更多的孩子得到更好的教育16.一块直角三角形木板，一直角边是1.5米，另一直角边长是2米，要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人的加式方法分别如图1、图2所示，请运用所学知识说明谁的加工方法符合要求.图1图217.如图，圆中两弦AB、CD相交于M，且AC=CM=MD，MB=AM=1，求此圆的直径的长.18.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间(0≤t≤6)那么:(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；(3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？让更多的孩子得到更好的教育【答案】一．选择题1．【答案】A.【解析】考点：平行线分线段成比例.2．【答案】A.【解析】考点：相似三角形的性质.3．【答案】A【解析】考点：相似三角形的判定.4．【答案】C.5.【答案】A.【解析】求出AEAB的值，推出△AEF∽△ABC，得出19AEFABCSS△△，把S四边形BCFE=8代入求出即可．6.【答案】B.【解析】根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可．二．填空题7．【答案】3:5.8．【答案】2，1:4，1:6.9．【答案】1:3.【解析】∵S△AOD:S△COB=1:9，，∵△AOD与△DOC等高，∴S△AOD:S△DOC=1:3，∴S△DOC:S△BOC=1:3.10．【答案】30m.11.【答案】254.【解析】设，则x=3k,y=4k,z=5k∴.12．【答案】68°，1:2.【解析】首先，想到定理的含义，再结合图形分析（或进行比例变形）就可直接求出结果.13.【答案】10.【解析】∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD∴△AED∽△ABC，∴AEDEABCB，DE=10.14.【答案】0.64m.让更多的孩子得到更好的教育【解析】将实际问题转化为几何问题是解题的关键，即由题意可得Rt△ABC，其中AB=1m，AC=0.8m，BD=0.8m，DE//BC，将问题转化为求CE的长，由平行线分线段成比例定理计算即得.三.解答题15．【解析】解：△ABC为等腰直角三角形，∠CAB=∠CBA=45°，∠E+∠F=45°，∠E+∠ECA=∠CAB=45°，∠F+∠BCF=∠CBA=45°，所以∠ECA=∠F，∠E=∠BCF，所以△ECA∽△CFB，，3y=CA2=x2，即y