第四章判断(二)

1第四章判断（二）前一章我们介绍了非模态判断中的直言判断和关系判断，它们都是简单判断。这一章我们着重介绍非模态判断中的复合判断和模态判断。复合判断是包含其他判断的判断，它通常是由两个或两个以上的简单判断组成的。例如：（1）如果△ABC是Rt△，那么其两直角边的平方和等于其斜边的平方。（2）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的正射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。这两个判断都是复合判断。构成复合判断的简单判断称为复合判断的肢判断，上例中的“如果……那么……”是把几个肢判断联结起来的联结词（或联项）。这样的联结词还有“不但……而且……”、“只要……就……”等。根据复合判断所用的联结词的性质不同，可将其分为：联言判断、选言判断、假言判断以及负判断等。第一节联言判断一什么是联言判断联言判断亦称为合取判断，是一种复合判断。联言判断是断定几种事物情况同时存在的判断。它反映的是同一对象或不同对象的不同属性的共存性和相容性。例如，“矩形的对角线不但互相平分，而且还相等。”联言判断是由两个或两个以上的简单判断组成的。联言判断所包含的简单判断叫做联言肢。各联言肢之间一般用“并且”这样的逻辑联结词作为联结项。在汉语里表达联言判断的联结词还有：“……而且……”、“既是……又是……”、“不但……而且……”、“不是……而是……”、“既要……又要……”、“一方面……又一方面”、“不仅……也……”等等。联言判断的一般形式是：p并且q。其中，p和q表示肢判断，“并且”是联结词，可用符号“∧”表示。于是，p并且q可以表示为p∧q。二联言判断的真假任何判断都或是真的，或是假的，这种或真或假的性质叫做判断的真假值，或叫判断的逻辑值。联言判断也是判断，所以联言判断也具有真假。由于联言判断同时断定了事物的几种情况，因此，联言判断的真假取决于其联言肢2的真假。一个联言判断，当且仅当每个联言肢都是真的，这个联言判断才是真的。其中只要有一个联言肢是假的，则整个联言判断就是假的。以p、q分别表示联言肢，以“∧”这个合取符号表示联结词“并且”，则联言判断的真假与联言肢的真假关系，可用下列真假表来表示：从右面真假值表可以断定一个联言判断“p∧q”（读作p并且q），只有其联言肢都是真的，该联言判断才是真的；只要有一个联言肢是假的，则该联言判断就是假的。如果仅从联言判断形式的真假方面来考虑，则联言判断的真假与联言肢的真假有直接关系，而与联言肢的顺序无关。也就是说，如果p是真的，q也是真的，那么“p∧q”是真的，“q∧p”也是真的。例如，“地球上有高级动物，金星上也有高级动物。”第二节选言判断一什么是选言判断选言判断，亦称析取判断，它是一种复合判断，它断定在几种可能的事物情况中至少有一种事物情况存在。例如：（1）一个三角形或者是直角三角形，或者是钝角三角形，或者是锐角三角形。（2）能被5整除的数末位或者是0，或者是5。这种断定事物的几种可能情况的判断就是选言判断。选言判断总是由两个或两个以上的肢判断构成的。选言判断的一般形式有：p或者q。要么p要么q。p、q表示选言判断的肢判断，“或者”、“要么”是联结词。在汉语里，表达选言判断的联结词的还有：“或者……或者……”、“也许……也许……”、“可能……也可能……”、“不是……就是……”、“……二者必居其一”等等。二选言判断的种类选言判断的肢判断所断定的事物情况，有的是相容的，有的是相互排斥互不相容的。因此，选言判断可分为相容的选言判断和互不相容的选言判断。为了便于推演，人们用符号∨（读作：或者）表示相容的析取，用符号∨（读作：要么……要么）表示不相容的析取。（一）相容的选言判断是断定事物的几种可能情况可以同时存在的判断。相容的选言判断的各选言肢可以都是真的，而只要有一个选言肢是真的，整个选言判断就是真的。如果包含在相容的选言判断里的肢判断都是假的，则这个选言判断就是假的。例如，“他学习不好，或者由于他的基础太差，或者由于他的学习方法不好，或者由于他不努力。”这是相容的选言判断，其中包括的选言肢可以不只一个是真的。相容的选言判断的逻辑形式是：p或者q，以符号表示为：p∨q相容选言判断的真假值与其选言肢的真假值的关系，可以用下列真假值表表示（见pqP并且q(p∧q)真真真真假假假真假假假假.3右表）（二）不相容的选言判断就是断定事物有几种可能的情况，而这些可能的情况不能同时存在，只能有一种情况可以存在。这就是说，不相容的选言判断是最多只有一个选言肢为真的选言判断。不相容的选言判断的各肢判断，不能同真，也不能同假。如果只有一个肢判断为真，则这个选言判断就是真的；如果有两个或两个以上的肢判断为真，或者各肢判断都是假的，则这个选言判断就是假的。例如，“从装有红、蓝两色球的口袋中摸出一球，或者为红色，或者为蓝色。”又如，“一个三角形，要么为锐角三角形，要么为钝角三角形，要么为直角三角形。”这些都是不相容的选言判断。不相容的选言判断的逻辑形式是：要么p,要么q，以符号表示则为：pq不相容的选言判断的真假值与其选言肢的真假值的关系，可以用下列真假值表表示：从右表可以看出，当不相容选言判断的两个肢判断同是真的或同是假时，不相容的选言判断是假的；当不相容的选言判断的肢判断中只有一个是真时，不相容的选言判断才是真的。选言判断虽然不像直言判断那样是对客观事物直接有所断定，但它提出客观事物的几种可能性，估计到情况的各个方面，为进一步分析问题提供基础，为人们认识问题指明范围，为解决问题提供线索，使人们能了解事物发展的几种可能性，以便创造条件，力争实现最好的可能。第三节假言判断一什么是假言判断假言判断也是一种复合判断。它是反映客观事物之间条件与结果关系的判断，它断定一类情况的存在是另一类情况存在的条件。假言判断又叫条件判断。例如，“如果两条直线相交，那么经过这两条直线有且只有一个平面。”假言判断是由两个肢判断组成的，条件和结果有先后次序的不同，我们把表示条件的肢判断叫做前件，表示结果的肢判断叫做后件。前件和后件在逻辑上表现为理由和推断的关系。如果以p表示前件，以q表示后件，则假言判断的一般形式有：如果p，那么q。只有p，才q。或非p，则非q。当且仅当p，则q。P代表前件，q代表后件；“如果……，那么……”、“只有……才……”、“当且仅当”等等，是逻辑联结词。形式逻辑不研究有具体内容的假言判断的前件和后件的关系，这是各门具体科学的事。一般地，形式逻辑是研究假言判断前后件的逻辑联系，并从肢判断的真假方面，来研究假言判断真假的逻辑性质。pqP或q(pq)真真真真假真假真真假假假pq要么P，要么q(pq)真真假真假真假真真假假假4二假言判断的种类由于假言判断是断定客观事物之间条件与结果的关系的判断，因此，对于任何一个假言判断来说，明确其前、后件之间是什么样一种条件联系，就是非常重要的了。不同的条件联系构成不同性质的假言判断。就条件来说，有充分条件、必要条件和既充分又必要的条件。因而，作为反映这种不同的条件关系的假言判断，也可分为三种，即充分条件的假言判断，必要条件的假言判断和充分必要条件的假言判断。（一）充分条件的假言判断充分条件是这样一种条件，有了它一定有某一结果，没有它不一定没有这个结果。简言之，有之必然，无之未必不然。即有p必有q，无p未必无q，p就是q的充分条件。具有这样条件关系的假言判断，就是充分条件的假言判断。例如，“若某数能被6除尽，则它就能被2除尽。”在这里，只要前件“某数能被6除尽”成立，那么后件“它能被2除尽”就一定成立。又如，“同位角相等，两直线平行。”如果我们用p、q分别表示一个假言判断的前件和后件，用符号“→”表示前件和后件之间的充分条件关系（亦称蕴涵），那么，充分条件假言判断的逻辑形式：如果p，那么q。用符号表示为：p→q(读作：如果p，那么q)。充分条件假言判断的真假，决定于前件所断定的事物情况是不是后件所断定的事物情况的充分条件。如果前件所断定的事物情况是后件所断定的事物情况的充分条件，那么，这个充分条件的假言判断就是真的，否则就是假的。所谓前件（或后件）是真的，就是前件（或后件）所断定的事物情况存在；所谓前件（或后件）是假的，就是前件（或后件）所断定的事物情况不存在。因此，所谓前件是后件的充分条件，也就是说，前件是真的，那么后件一定是真的；如果前件是真的而后件是假的，那么，这个假言判断就是假的，从另一方面来看，如果前件是假的，那么，后件可以是真的，也可以是假的。所以，当一个充分条件假言判断是真的，它的前件与后件就有下面几种真假情况：（１）前件真，后件真；（２）前件假，后件真；（３）前件假，后件假。如果一个充分条件的假言判断是假的，即当它的（４）前件真，后件假，在这种情况下，它就是假的。例如，判断“若某数能被６整除，但它不能被２整除。”的前件真而后件假，那么，很明显，这个假言判断是假的。充分条件假言判断的真假值及其与前后件真假值之间的关系，可用下列真假值表表示：从右面这个表中，我们可以看出，一个充分条件假言判断，只有当它的前件真而后件假时，整个充分条件的假言判断才是假的。在其他情况下，都是真的。明确这一点，对于我们准确把握充分条件假言判断的逻辑特性来说是非常重要的。但应注意，我们在实际思维论断过程运用充分条件的假言判断时，并不只是考虑其前后件的真假组合，更重要的，还是要考虑其前后件在实际上是否有条件与结果的联系。pq如果p，那么q(p→q)真真真真假假假真真假假真5（二）必要条件的假言判断必要条件是这样一种条件，没有它一定不会有某种结果，有了它不一定有这种结果。简言之，无之必不然，有之未必然。即无p必无q，有p未必有q，p就是q的必要条件。具有这种条件关系的判断就是必要条件的假言判断。例如：（1）只有x2=y2，才会有x=y。（2）一个数不是整数，这个数就不会是偶数。（3）不入虎穴，焉得虎子。这两个判断都断定没有前件情况的出现，就不会有后件情况的出现。在汉语中，必要条件假言判断常用的联结词有：“只有……才……”、“必须……才……”、“不……就不……”、“除非……才……”、“没有……就没有……”等等。必要条件假言判断的逻辑形式是：p→q，符号表示否定，p则q，表示非p，则非q。它的含义等价于只有p，才q。必要条件假言判断的真假值及与其前后件真假值之间的关系，可以用下列真假值表表示；从右表可以看出，一个必要条件的真假值，只有当其前件假而后件真时，该假言判断才是假的；在其他情况下，都可以是真的。分析例（1），就可以看到，如果x2y2时，也有x=y，那么“只有x2=y2，才会有x=y。”这一假言判断才是假的。即前件假而后件真时，必要条件假言判断是假的。（三）充分必要条件假言判断充分必要条件（简称充要条件）是充分条件和必要条件的结果。充要条件就是有了它一定有某一结果，没有它就一定没有这一结果。简言之，有之必然，无之必不然。即有p必有q，无p必无q，p就是q的充分必要条件。具备这样条件的假言判断就是充分必要条件假言判断。它是把“如果p，那么q”，“只有p才q”两者相结合的假言判断。这种假言判断，前件是后件的充分必要条件，后件也是前件的充分必要条件。例如：（1）abacbc（2）一个三角形是等边三角形，当且仅当它是等角三角形。这些都是充分必要条件的假言判断。充要条件的假言判断的一般形式为：p当且仅当q，用符号表示为：pq符号表示互为充分必要条件，也称之为等值，即有p则有q，无p则无q，有p就有q，无p就无q，亦即当且仅当p，才q。在通常的汉语中，没有一个可以恰当准确的表达充要条件的联结词的词语。当且仅当的表达方式，仅见于数学著述，在日常语言中是不常用的。下面的一些词语，可以勉强表达充要条件的联结词。“如果……那么……，而且，只有……才……”、“如果……那么……并且如果不……那么不……”、“只要并且只有……才（就）……”等等。在文章和著作中有时还用表达成分条件的连接词“如果……那么……”，表示充要条件假言判断。pq只有P，才q(p→q)真真真真假真假真假假假真6充分必要条件假言判断还可以省略联结词。因此