一次函数与三角形面积

——————————————————————————————————————————1一次函数相关的面积问题思路：画出草图，把要求的图形构建出来，根据面积公式，把直线与坐标轴的交点计算出来，把坐标转化成线段，代入面积公式求解。规则图形（公式法）不规则图形（切割法）不含参数问题含参数问题（用参数表示点坐标，转化成线段）注意：坐标的正负、线段的非负性。求面积时，尽量使底或高中的一者确定下来（通过对图像的观察，确定底和高），然后根据面积公式，建立等式。1、求直线y=-2x+4，y=2x-4及y轴围成的三角形的面积。2、已知正比例函数y=2x与一次函数y=x+2相交于点P，则在x上是否存在一点A，使S△POA=4?若存在，求出点有坐标；若不存在，请说明理由。3、如下图，一次函数的图像交正比例函数的图像于M点，交x轴于点N（-6，0），已知点M在第二象限，其横坐标为-4，若S△NOM=15，求正比例函数的解析式。NyMOx4、如图，直线1l的解析表达式为y=-3x+3，且1l与x轴交于点D，直线2l经过点AB，，直线1l，2l交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线2l的解析表达式；（3）求ADC△的面积；（4）在直线2l上存在异于点C的另一点P，使得l1l2xyDO3BCA32（4，0）图11——————————————————————————————————————————2ADP△与ADC△的面积相等，请直接．．写出点P的坐标．5、如图，直线L的解析表达式为y=-21x+2，且与x轴、y轴交于点A、B，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。（1）求A、B两点的坐标；（2）△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当何值时△COM≌△AOB，并求出此时M点的坐标。OCMAxyB一次函数（动态问题）举一反三：如图（十二），直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴、y轴分别相交于AB、两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于MN、两点，设运动时间为t秒（0t《4）．（1）求AB、两点的坐标；（2）用含t的代数式表示MON△的面积1S；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记MPN△和OAB△重合部分的面积为2S，①当2t《4时，试探究2S与t之间的函数关系式；②在直线m的运动过程中，当t为何值时，2S为OAB△面积的516？OMAPNylmxBOMAPNylmxBEPF图十二——————————————————————————————————————————3【答案】解（1）当x=0时，y=4；当y=0时，x=4．(40)04AB，，（，）；（2）1OMOAMNABONOB∥，，211122OMONtSOMONt，·；（3）①当24t≤时，易知点P在OAB△的外面，则点P的坐标为()tt，,F点的坐标满足4xtyt，，即(4)Ftt，，同理(4)Ett，，则24PFPEttt(4-)，所以2MPNPEFOMNPEFSSSSS△△△△2221111324248822222tPEPFttttt·()()；②当02t≤时，2221151544221622Stt，，解得125052tt，，两个都不合题意，舍去；当24t≤时，22358822Stt，解得34733tt，，综上得，当73t或3t时，2S为OAB△的面积的516．模仿操练：如图，直线4xy与两坐标轴分别相交于A.B点，点M是线段AB上任意一点（A.B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为)40aa（，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象．6、在ABC中，,4,5,DBCCD3cm,CRtACcmBCcm点在上，且以＝现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度——————————————————————————————————————————4EDBCAQP沿BC向终点C移动。过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ。设动点运动时间为x秒。（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设EDQ的面积为2()ycm，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当x为何值时，EDQ为直角三角形。7、如图1，在平面直角坐标系中，已知点(043)A，，点B在x正半轴上，且30ABO∠．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在x轴上取两点MN，作等边PMN△．（1）求直线AB的解析式；（2）求等边PMN△的边长（用t的代数式表示），并求出当等边PMN△的顶点M运动到与原点O重合时t的值；（3）如果取OB的中点D，以OD为边在RtAOB△内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边PMN△和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当02t≤≤秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．（图1）yAPMONBx（图2）yACODBxE——————————————————————————————————————————58、两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且BC、DF在一条直线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．固定Rt△ABC不动，让Rt△DEF沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止．设FC=x，两个三角形重叠阴影部分的面积为y．（1）如图2，求当x=21时，y的值是多少？（2）如图3，当点E移动到AB上时，求x、y的值；（3）求y与x之间的函数关系式；9、（重庆课改卷）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成11ACD和22BCD两个三角形（如图2所示）.将纸片11ACD沿直线2DB（AB）方向平移（点12,,,ADDB始终在同一直线上），当点1D于点B重合时，停止平移.在平移过程中，11CD与2BC交于点E,1AC与222CDBC、分别交于点F、P.（1）当11ACD平移到如图3所示的位置时，猜想图中的1DE与2DF的数量关系，并证明你的猜想；——————————————————————————————————————————6ACQBP（2）设平移距离21DD为x，11ACD与22BCD重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值；使得重叠部分的面积等于原ABC面积的14？若不存在，请说明理由.10、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；CBDA图1PEFAD1BC1D2C2图3C2D2C1BD1A图2——————————————————————————————————————————7三角形面积与函数解析式的几种题型一、利用面积求解析式1、直线bxy2与坐标轴围成的三角形的面积是9,则b=________.（分类讨论）2、已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线经过原点，与线段AB交于点C，把,△AOB的面积分为2：l两部分，求直线名的解析式．3、如图,已知直线PA：)0(nnxy与x轴交于A,与y轴交于Q,另一条直线xnmmxy与)(2轴交于B,与直线PA交于P求:(1)A,B,Q,P四点的坐标(用m或n表示)(2)若AB=2,且S四边形PQOB=65,求两个函数的解析式.4、已知直线2xy与x轴、y轴分别交于A点和B点，另一条直线bkxy)0(k经过点)0,1(C，且把AOB分成两部分（1）若AOB被分成的两部分面积相等，则k和b的值（2）若AOB被分成的两部分面积比为1：5，则k和b的值——————————————————————————————————————————85、已知一次函数332yx的图象与y轴、x轴分别交于点A、B，直线ykxb经过OA上的三分之一点D，且交x轴的负半轴于点C，如果AOBDOCSS，求直线ykxb的解析式．二、利用解析式求面积1、直线bkxy过点A（－1，5）和点)5,(mB且平行于直线xy，O为坐标原点，求AOB的面积.2、如图，所示，一次函数bkxy的图像经过A，B两点，与x轴交于C求：（1）一次函数的解析式；（2）AOC的面积3、已知:直线42xy与直线3xy,它们的交点C的坐标是________,设两直线与x轴分别交于A,B,则SΔABC=_______,设两直线与y轴交于P,Q,则SΔPCQ=_________.4、一次函数411xky与正比例函数xky22的图象都经过(2,-1),则这两个函数的图象与x轴围成的三角形面积是________.5、已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C的坐标;(2)求△ABC的面积.——————————————————————————————————————————9(3)在直线BC上能否找到点P,使得S△APC=6，若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。6、如图，直线y＝-34x+4与y轴交于点A，与直线y＝54x+54交于点B，且直线y＝54x+54与x轴交于点C，求△ABC的面积。7、已知直线ykxb经过点A（0，6），且平行于直线2yx.（1）求该函数的解析式，并画出它的图象；（2）如果这条直线经过点P（m，2），求m的值；（3）若O为坐标原点，求直线OP解析式；（4）求直线ykxb和直线OP与坐标轴所围成的图形的面积。三、关于面积的函数关系1、已知点A（x，y）在第一象限内，且x+y=10，点B（4，0），△OAB的面积为S.（1）求S与x的函数关系式，直接写出x的取值范围，并画出函数的图像；（2）△OAB的面积为6时，求A点的坐标；2、如图，直线6ykx与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）。（1）求k的值；BACO——————————————————————————————————————————10AFEoyx（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为278，并说明理由。4、如图(1),在矩形ABCD中,AB=10cm,BC=8cm,点P从A出发,沿A→B→C→D路线运动,到D停止;点Q从D出发,沿D→C→B→A路线运动,到A停止.若点P、点Q同时出发,点P的速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s,as时点P、点Q同时改变速度,点P的速度变为bcm/s,点Q的速度变为dcm/s.图(2)是点P出发x秒后△APD的面积S1(cm2)与x(s)的函数关系图象;图(3)是点Q出发x秒后△AQD的面积S2(cm2)与x(s)的函数关系图象.