第四章四边形的性质探索

★数学是锻炼思维的体操★培养方法，训练思维，提升能力专用资料第1页第四章四边形的性质探索1、已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，以BD、AB为边作平行四边形ABDE，连结CE交AD的延长线于F。求证：EF=CF2、已知：如图，分别以△ABC的三边向BC边的同侧作等边△ACE、△BCD、△ABF，连结FD、DE。（1）求证：四边形AEDF是平行四边形（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF分别是矩形、菱形、正方形？请说明理由。（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF不存在？3、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F,FM⊥AB于M，连结EM。（1）求证：四边形CEMF是菱形；（2）若CD=4cm，AD=3cm，求CF的长；（3）若EN//AB交CB于N，求BN的长。DABECFABCDFENEADBMCF★数学是锻炼思维的体操★培养方法，训练思维，提升能力专用资料第2页4、已知：如图，正方形ABCD，点M是直线BC上的一个动点，AM⊥MN于与∠C的外角平分线相交于点N。（1）当点M移动到BC的中点时（如图1），求证：AM=MN；（2）当点M离开BC中点时，（如图2、3、4），则（1）中的结论仍成立吗？请分别说明理由；（3）若AB=2，在图2中连结DM、DN，求四边形DMCN的面积。5、已知：如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O的平行线分别与∠C的内角平分线和∠C的外角平分线相交于点E、F。（1）求证：OE=0F（2）当点O运动到AC的何位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由。（3）若在AC上存在点，满足四边形AECF是正方形，且62AEBC，求∠B的度数。NABMCDN图1ABMCDN图2ABMCDN图3ABMCD图4ABCFEO★数学是锻炼思维的体操★培养方法，训练思维，提升能力专用资料第3页6、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b≧2a),且点F在AD上（以下问题的结果可用a,b表示）（1）求S△DBF；(2)把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBF；(3)把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．7、用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）、在图1中，当三角尺的两边分别与四边形的两边BC，CD相交于点E，F时，通过观察或测量BE，CF的长度，BE_______CF；(填“＞”、“＜”、“=”)（2）、在如图1中，若AB=2，则菱形ABCD与三角板的叠合部分AECF面积为_____（3）当三角尺的两边分别与四边形ABCD的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？请证明你的结论。（4）设旋转角为α,当α满足什么条件时，菱形与三角板的叠合部分面积不变？（直接写出结果）图1图2★数学是锻炼思维的体操★培养方法，训练思维，提升能力专用资料第4页8、四边形是大家熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质，只要善于观察，乐于探究，我们还会发现更多的结论。如：四边形一条对角线上的任意一点与两外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形，其中相对的两个三角形的面积的乘积相等。下面我们来证明这个结论：（1）如图1，在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点，求证：OBCOADOABOCDSSSS；（2）如图2，在三角形中，你能归纳出类似的结论吗？若能，请写出你的结论并证明；若不能，请说明理由。9、已知：如图，矩形ABCD和点P，①当点P在图①中的位置时，判断PBCS，PACS，PCDS有怎样的数量关系，并说明理由。②分析观察当点P分别在图②、图③中的位置时，猜想PBCS，PACS，PCDS又有怎样的数量关系。（不必说明理由）。10、（1）如图1，设正方形的面积为s，它的两条对角线与一组对边所围成的两个三角形的面积分别为1s、2s，问s、1s、2s三者间存在怎样的数量关系？（2）如图2、3，若将正方形改为矩形、平行四边形，其余条件不变，则（1）的数量关系是否存在？请说明理由。（3）如图4，设梯形的面积为s，梯形的两条对角线与两底边所围成的三角形的面积分别为1s、2s，则s、1s、2s之间有何数量关系？请说明理由。（4）通过上述证明，你发现了什么结论？请用归纳你的结论。A图(3)图(2)图(1)AABCPBCPBCPDDD图1S2S1ABCDOS2S1ABCDOS2S1ABCDOS1S2ABCDO图2图3图4ABCDO图1ABCOD图2