第四章大数定律与中心极限定理答案

第四章大数定律与中心极限定理答案一、单项选择1.设)(x为标准正态分布函数，不发生，事件发生；事件AAXi,0,1100,,2,1i，且8.0)(AP，10021,,,XXX相互独立。令1001iiXY，则由中心极限定理知Y的分布函数)(yF近似于（）（A）)(y（B）Ф()y804（C）)8016(y（D）)804(y答案：D二、填空1.设X的期望和方差分别为和2，则由切比雪夫不等式可估计)2(XP。答案：342．设随机变量X和Y的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式，有}6|{|YXP________．答案：1213．已知随机变量的均值μ=12，标准差σ=3，试用切比雪夫不等式估计落在6到18之间的概率为________．与3到21之间解由题意得，2212,3,ED由切比雪夫不等式得222{618}{126}3311466PPD3{618}4P4．已知随机变量的均值μ=12，标准差σ=3，试用切比雪夫不等式估计落在3到21之间的概率为________．解由题意得，2212,3,ED由切比雪夫不等式得222{321}{129}3811999PPD8{321}9P5．假定生男孩、生女孩的概率均为0.5，用切比雪夫不等式估计200个新生婴儿中男孩在80个到120个之间的概率为________．解设表示在200个新生婴儿中男孩的个数,则~(,),Bnp其中0.5p200,n,则()2000.5100,Enp()(1)2000.5(10.5)50.Dnpp由切比雪夫不等式得22{80120}{10020}5071182020PPD6．用切比雪夫不等式估计下题的概率:废品率为0.03,求1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率为________.答案：0.7097．用切比雪夫不等式估计下题的概率:求200个新生婴儿中,男孩多于80个且少于120个的概率为________.(假定生女孩和生男孩的概率均为0.5.)答案：0.8758．设随机变量1,0~UX，由切比雪夫不等式可得)3121(XP.答案：14三、计算题1．现有一批种子,其中良种占16,今任取6000粒种子,试以0.99的概率推断在这6000粒种子中良种占的比例与16的差是多少?相应的良种数在哪个范围内?解用随机变量kX表示第k粒种子,用1kX表示第k粒种子为良种,用0kX表示第k粒种子不是良种,1,2,,6000k则15(),(),636iiEXDX(1,2,,6000)kXk是相互独立同分布的随机变量序列,60001kkX表示这6000粒种子中良种的粒数,记60001kkXX,则11560001000,60006000,36EXEXDXDX则由独立同分布的中心极限定理得600016000111()600061600066000{}1515600060006666(207.85)(207.85)2(207.85)1kkkkPXXP根据题意,令2(207.85)10.99.即有(207.85)0.995,查正态分布表得207.852.85,0.0124并由6000111(0.0124)0.9960006kkPX得60001(9251075)0.99kkPX因此,以0.99的概率推断在这6000粒种子中良种占的比例与16的差是0.0124.这时,相应的良种粒数在925粒到1015粒之间.2．某单位有120个电话分机，每个分机有5%的时间使用外线，假设各分机使用外线与否是相互独立的，试用中心极限定理计算，使用外线的分机个数在6个到12个之间的概率.(已知.5.0)0(,994.0)51.2()（8分）解：～B(n,p),其中n=120,p=5%E=6,D=5.7,由中心极限定理，得P（612）=）（）－（07.56=）（）－（0513.2=0.4939633.（10分）一大批种子，良种占%20，从中任选5000粒。试计算其良种率与%20之差小于%1的概率。（用表示）解设表示在任选5000粒种子中良种粒数，则)(~pnB，，其中5000n，2.0p，则800)1(1000pnpDnpE，，由中心极限定理得，良种率与%20之差小于%1的概率为)501000()01.02.05000(PP)77.1()80050()800508001000(P4已知生男孩的概率为0.515,求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率.解设X为10000个新生婴儿中男孩的个数,则~(,),XBnp其中0.515p10000,n.10000个新生婴儿中女孩不少于男孩,即5000.X由DeMovire-Laplace中心极限定理,得新生婴儿中女孩不少于男孩的概率(5000)5000{}(1)(1)5000100000.515()100000.5150.485(3)0.00135PXXnpnpPnppnpp5试利用(1)切比雪夫不等式;(2)中心极限定理分别确定投掷一枚均匀硬币的次数,使得出现”正面向上”的频率在0.4到0.6之间的概率不小于0.9.解设X表示投掷一枚均匀硬币n次出现”正面向上”的次数,则则~(,),XBnp其中0.5p,则()0.5,EXnpn()(1)0.25.DXnppn(1)利用切比雪夫不等式求解22(0.40.6)(0.40.6)(0.10.50.1)(0.50.1)()0.25251110.9,(0.1)0.01XPPnXnnPnXnnPXnnDXnnnn由此得250.1,n250.n(2)利用中心极限定理求解由DeMovire-Laplace中心极限定理得,X近似服从正态(,(1)).Nnpnpp即~(0.5,0.25).XNnn所以,(0.40.6)(0.40.6)0.40.50.50.60.5()0.250.250.250.60.50.40.5()()0.250.25(0.2)(0.2)2(0.2)10.9XPPnXnnnnXnnnPnnnnnnnnnnnn由此得(0.2)0.95,n查正态分布表得0.21.645,67.65,nn因此取68.n6设某保险公司的老年人寿保险一年有10000人参加,每人每年交40元.若老人死亡,公司付给家属2000元.设老人死亡率为0.017,试求保险公司在这次保险中亏本的概率.解设X为老人死亡人数,则~(,),XBnp其中0.017p10000,n由题意,得保险公司在这次保险中亏本当且仅当20004010000,X即200.X由DeMovire-Laplace中心极限定理,得保险公司亏本的概率(200)200{}(1)(1)200100000.0171()100000.017(10.017)1(2.321)0.01017PXXnpnpPnppnpp7．设某电话交换台的呼叫次数服从泊松分布且每秒钟平均被呼叫两次,试求在100秒内被呼叫次数在180至220次之间的概率.解设第i秒钟内被呼叫的次数为,1,2,,100,iXi由iX为服从参数为2的泊松分布,且1100,,XX独立同分布,有()2,()2,iiEXDX1001iiX为100秒钟被呼叫的总次数,记1001iiXX，则11100200,100200,102,EXEXDXDXDX由独立同分布的中心极限定理,得10011001(180220)200180200220200{}102102102(1.41)(1.41)(1.41)10.8414iiiiPXXP所以在100秒内被呼叫次数在180至220次之间的概率为0.8414.8．抛掷一枚硬币，以表示n次抛掷中出现正面的次数，问要抛掷多少次，才能以0.99的概率保证出现正面的频率与概率的偏差小于0.01？试分别用切比雪夫不等式及中心极限定理求出结果．解设表示在n次抛掷中出现正面的次数,则~(,),Bnp其中0.5p,则()0.5,Enpn()(1)0.25Dnppn(1)由切比雪夫不等式得22{0.01}{0.01}0.25110.99(0.01)(0.01)EPPEnnnDnnn60.2510250000n(2)利用中心极限定理求解由DeMovire-Laplace中心极限定理得,近似服从正态(,(1)).Nnpnpp即~(0.5,0.25).Nnn所以,{0.01}{0.01}0.010.01{}0.010.01()()0.010.010.01()[1()]2()10.99EPPEnnnnEnPDDDnnDDnnnDDD由此得0.01()(0.02)0.995,nnD查正态分布表得20.022.58,12916641.nn9．设某厂的金属加工车间有80台机床，它们的工作是相互独立的，设每台机床的电动机都是2KW的，由于资料检修等原因，每台机床平均只有70%的时间在工作，试求要供应这个车间多少KW电才能以0.99的概率保证此车间生产用电？解设表示在80台机床中正在工作的机床台数,则~(,),Bnp其中n=80,p=0.7,则()56,Enp()(1)16.8Dnpp设应供应这个车间xKW电才能以0.99的概率保证此车间生产用电.由中心极限定理得,56562{}{}216.816.8562()0.9916.8xxPPx5622.3316.8x，解得131.1x，因此至少应供应这个车间132KW电才能以0.99的概率保证此车间生产用电.10．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？解设应该检查n个产品．设表示在被检查的n个产品中次品的个数,则~(,),Bnp其中p=0.1,则()0.1,Enpn()(1)0.09Dnppn.由中心极限定理得,0.1100.1{10}{}0.090.090.1100.1100.11{}1()0.90.090.090.09nnPPnnnnnPnnn100.1()0.10.09nn0.110100.1()1()10.10.90.090.09nnnn0.1101.280.09nn3.841000nn.解得146.5n，因此至少应检查147个产品，才可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9.四、证明题1．设随机变量,,,,21n相互独立，且每一随机变量有有限的方差，设cDi，试证，对0，有011lim11niiniinEnnP或111lim11niiniinEnnP证niiniiEnnE111)1(i相互独立，ncDnnDniinii1211)1(由切比雪夫不等式，对0，有01110211nniiniincEnnP两边夹，0