晶面和晶向(课件)

1第四章晶向、晶面等概念24.1原子坐标在空间三维坐标系中，一个点A用一组坐标(x,y,z)表示，一条直线用直线方程ax+by+cz=0来表示。原子在晶胞中的位置可用原子坐标表示。3什么是原子坐标？原子坐标是以单位晶格长度为坐标，以数字表示某一原子中心处在晶格中的位置的一种表示方法，原点一般选在晶胞顶点上。(0,0,0)表示处于顶点上的原子表示处于体心上的原子简单立方格子的原子坐标(0,0,0)111(,,)2224体心立方格子：(0,0,0)111(,,)2225面心立方格子：(0,0,0)111111(,0,)(,,0)(0,,)2222226金刚石的晶胞：(0,0,0)(1/4,1/4,1/4)(3/4,3/4,1/4)(1/4,3/4,3/4)(3/4,1/4,3/4)也可以将原子的位置投影到结构晶胞的底面上，以数字标明它所在位置的高度。111111(,0,)(,,0)(0,,)22222274.2晶面及晶面指数什么是晶面？连结同一层质点的平面什么是晶面间距？相邻两层平行晶面之间的距离什么是面密度？晶面上质点的密度在同一晶体的格子结构中，沿不同方向可以构成许多组这样相互平行的晶面，不同晶面间彼此相差一定角度，并且他们的晶面间距、面密度及质点种类、价键密度也不同，这将导致这些晶面的物理、化学性质有所不同。为区分这些晶面，结晶学上人们用晶面指数来标志(密勒指数)。8密勒指数是经过约简的该晶面在三个晶轴上的截距的倒数之比确定密勒指数的三个步骤：1)该晶面与x,y,z轴相交的长度r,s,t(表示相交长度分别为a、b、c的r、s、t倍)，分别取其倒数1/r,1/s,1/t；2)对这三个分数进行通分，用分母的最小公倍数做分母；3)通分后三个分数的分子就是晶面指数(hkl)111332223332223666→→→，，，，，，（）910两种特殊情况：1)当晶面和晶轴平行时，认为：该晶面与晶轴在无穷远处相交，截距∞，1/∞=0，因此晶面在这个晶轴上的密勒指数为0，(110)表示与Z轴平行的晶面，(100)表示平行于YZ平面的晶面，(001)表示平行于XY平面的晶面。2)如果晶面与某一晶轴的负方向相交,则相应的指数上加以负号，如，表示一个晶面族，晶面族内的各个晶面彼此等同，这是由于晶体结构上对称性决定的。110121（）、（）}{hkl11包含共六个晶面包含共十二个晶面包含共八个晶面110表示一个晶面；(110)表示一组平行晶面；{110}表示由对称性联系起来的一组空间等同晶面。}{100(100),(010),(100),(010),(001),(001)}{110(110),(101),(011),(110),(101),(011),(110),(101),(011),(110),(101),(011)}{111(111),(111),(111),(111),(111),(111),(111),(111)12立方晶系中六个等同的{100}晶面、十二个等同的{110}晶面、八个等同的{111}晶面。(第四次实习内容)134.3晶向及晶向指数什么是晶向？在晶体中任何一条穿过许多质点的直线方向称为晶向。确定晶向指数的三个步骤：1)先做一条平行于该晶向的直线，并使其通过晶胞原点；2)在这条直线上任取一点，求其在x、y、z轴上的三个坐标，一般选取结点；3)相乘或相除同一整数，化为最简整数比，即为晶向指数；用表示[]μνω14[][]11112,,463324μνω⎯⎯→→15由于对称性的关系，也有若干个晶向常常是等同的。它们构成一个晶向族，用uvw来表示这一系列的晶向。例如：对于立方晶系100包含共六个晶向；110包含共十二个晶向111包含共八个晶向在立方晶系中，由于晶轴参数的特殊关系，某一晶面(hkl)与指数相同的晶向[hkl]恰好垂直。在其他晶系中，这一关系不一定存在。(),,,,,abcαβγ[110],[101],[011],[110],[101],[011],[110],[101],[011],[110],[101],[011][111],[111],[111],[111],[111],[111],[111],[111][100],[010],[100],[010],[001],[001]16在六方晶系中，为了能充分体现六方晶系的六重轴对称性，常常用四个坐标指数表示晶面，被称为密勒布喇菲指数(hkil)。此时所选取的是由四个晶轴a1、a2、a3、c所组成的坐标系统。h、k、i、l四个指数中，只有三个是独立的，其中h＋k＝－i；h＋k＋i＝0。在六方晶系中，晶向最好用a1、a2、c三个晶轴坐标系统表示，即[uvw]，但也有用a1、a2、a3，c四个晶轴坐标系统表示的即[uvtw],四个坐标指数满足u+v+t=0的关系。17在具体确定晶向指数的时侯，选取与待定晶向相邻近的两个a轴为独立晶轴，而与另一个a轴相对应的晶向指数，则由u＋v＋t＝0来确定。18六方晶系中的晶面与晶向19()()()()110110110110晶面20()()()()113131311113[][][]113131311113⎡⎤⎣⎦晶向晶面214.4倒易点阵研究倒易点阵的目的：(1)更清楚地了解x射线在晶体衍射中的几何概念；(2)更清楚、更容易理解晶面的存在及其坡度、晶面间距等问题；(3)倒易点阵是固体物理学中讨论能带理论的重要方法；倒易点阵的实质：倒易点阵本身是一种几何构图，是一种数学抽象，是一种数学变换。22倒易点阵是由许多点子构成的虚点阵；倒易点阵是由具有晶格常数a、b、c的晶体点阵(或称正点阵、真点阵)经过一定的数学变换转化而来的一种虚拟点阵。晶体点阵(正格子)倒易点阵(倒格子)倒易点阵的空间称倒易空间。已知晶体点阵求解未知倒易点阵已知倒易点阵求解未知晶体点阵4.4.1倒易点阵的几何分析倒格子中的每一个结点和原来晶体点阵中各个相应的晶面有倒易关系23对应关系：如果两个点阵(即晶体点阵和倒易点阵)有一个共同的原点(1)晶体点阵中的(hkl)晶面在倒易点阵中用一点Phkl来表示，Phkl点和原点O间的连线垂直于晶体点阵中的(hkl)晶面；(2)如果倒易点阵中的Phkl点和原点O间的距离OP＝Hhkl，则Hhkl＝1/dhkl,式中dhkl是(hkl)晶面族的晶面间距。图4.4.1正点阵与倒易点阵的转化图示24图示一个普通单斜晶系的四个晶胞的ac晶面，b轴垂直于纸面，o点是正格子和倒格子的公共原点。由上述方法变换得到的倒易点阵结点集合起来具有点阵性质。25轮序置换三矢量混合积的三个因子，其积不变；对调两个相邻的因子，要改变乘积的符号。几何意义：矢量的混合积是这样的一个数，它的绝对值表示以矢量为棱的平行六面体的体积。如果矢量组成一个右手系，那么积的符号是正的，如果组成一个左手系，那就是负的。()()()()()()ABCBCACABBACCBAACB⋅⋅⋅⋅⋅⋅×=×=×=−×=−×=−×()()ABCABC⋅⋅×=×()()()0ABABAAAAB⋅⋅⋅×=×=×=ABCBCACABBACCBAACB⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=−⋅⋅=−⋅⋅=−⋅⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()ABCABC⎡⎤=×⎣⎦iABC、、ABC、、264.4.1倒易点阵的矢量分析如果晶体点阵中的三个晶轴矢量是，相应的倒易点阵矢量是，晶胞的三个棱长是a、b、c(正格子)，倒易点阵中对应的参数是(倒格子)。那么有(决定倒易矢量的方向)(决定倒易矢量的大小，长短)abc、、abc∗∗∗、、、abc∗∗∗、、0abacbabccacb⋅⋅⋅⋅⋅⋅∗∗∗∗∗∗======1aabbcc∗∗∗===cosaaaa∗∗⋅1=cosbbbb∗∗⋅1=coscccc∗∗⋅1=27bcaabc×∗×=cababc×∗×=abcabc×∗×=()()()()sincossin211abcabcaaabcaOPOBCDVε⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎡⎤×===∗⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的面积＝单位平行六面体的体积＝体积倒易矢量的另外一种定义2811100bcAaVAOPOPd×∗====⋅1010bd∗=1001cd∗=同理有在任何晶轴正交的晶体点阵(正交、四方、立方)中，三个晶轴方向与晶胞的三个棱方向是一致的，那么有//////aabbcc∗∗∗111aabbcc∗=∗=∗=100010001adbdcd===29什么是倒格矢量？由倒易点阵的原点到其中任何一个结点Phkl的矢量称为倒易矢量(或称倒格矢量)，用表示。Hhkl→Hhakblc∗∗∗=++倒格矢量晶格矢量,,Tmanbpcmnp=++30求证：倒易矢量(其中的h、k、l均为整数)垂直于晶体点阵中的(hkl)平面同时和有倒易关系证明：(1)若ABC平面为晶面族(hkl)中的一个平面，则得出：Hhakblc∗∗∗=++dhklaOAh=bOBk=cOCl=abOAABABOBhk++==∵＝baABkh∴=−110baHABhakblckh⋅⋅⎛⎞⎛⎞∗∗∗=++−=−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠HABHAC∴⊥⊥()HhklHABC⊥⊥即平面31(2)设是沿H方向的单位矢量n11ONOAHaONdnhhklHnHhakblcaaHadnhhHhHHhklHdhkl∴=⋅=⎛⎞∗∗∗++⎜⎟⎝⎠∴=⋅=⋅=⋅=∴=∵是在方向上的投影＝但以上证得的关系式与本节对倒易点阵的几何关系的规定是一致的。324.5晶面间距、晶面夹角及晶带4.5.1晶面间距什么是晶面间距？凡是一组平行晶面中最相邻的两个晶面间的距离。(hkl)晶面,dhkl最相邻的晶面间距。在晶体中晶面指数最低的晶面总是具有最大的晶面间距。33推导晶面距离公式()()()()()()()222022222222211cos01222hklhklhklHHddHHHHHHHhakblchakblcdhakblchkabhlacklbc∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗==⋅=⋅=∴==⋅=++⋅++=+++⋅+⋅+⋅将各个晶系晶体点阵常数与倒易点阵常数的关系带入公式，即可求晶面间距。在立方晶系中()()()()0322222222,901,01hklhklabcabcVaaabbccahkladadhklαβγ∗∗∗∗∗∗∗∗∗=========⋅=⋅=⋅=++∴=∴=++其它晶系作为了解，一般不常用。344.5.2晶面及晶向间夹角什么是晶面夹角？两个指数不同的晶面间夹角什么是晶向夹角？两个指数不同的晶向间夹角这是研究晶体取向及研究与晶体取向有关的性质经常牵涉到的问题以立方晶系为例，有指数为[h1k1l1]和[h2k2l2]两个晶向，两者间夹角为φ由晶向的定义可知：h1,k1,l1是[h1k1l1]在晶向方向上某一点A1在三个晶轴上的坐标数h2,k2,l2是[h2k2l2]在晶向方向上某一点A2在三个晶轴上的坐标数35∴[h1k1l1]与[h2k2l2]的夹角=OA1、OA2间的夹角立方晶系矢量的点乘：ϕ11112222OAhikjlkOAhikjlk++++＝＝1212cosOAOAOAOAϕ⋅＝1212121212222222111222cosOAOAOAOAhhkkllhklhklϕ∴=++=++++在立方晶系中，由于[]()[]()111111222222hklhklhklhkl⊥⊥，∴晶面（h1k1l1）与（h2k2l2）的夹角也适用上式。立方晶系中，相同指数的晶面间和晶向间具有相同的夹角其它晶系的情况比较复杂，不一一列出。36举例与晶面之间的夹角与晶面之间的夹角与晶面之间的夹角()110()111235.273ϕϕ==°s090coscoϕϕ==°s090coϕϕ==°⎡⎤⎣⎦110[]112()100()010374.5.3晶带在晶体中如果许多晶面族同时平行于一个晶向时，则这些晶面称为晶带，这个晶轴称为晶带轴。()()()()()()100010110110120120、、、、、在图示的正交晶系中，晶面均平行于[001]晶向，这些晶面构成以[001]为晶带轴的