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1第一章热力学的基本规律1.1试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κΤ。解：已知理想气体的物态方程为,pVnRT=（1）由此易得11,pVnRVTpVTα∂⎛⎞===⎜⎟∂⎝⎠（2）11,VpnRpTpVTβ∂⎛⎞===⎜⎟∂⎝⎠（3）2111.TTVnRTVpVppκ⎛⎞⎛⎞∂⎛⎞=−=−−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠（4）1.2证明任何一种具有两个独立参量,Tp的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κΤ，根据下述积分求得：()lnTV=αdTκdp−∫如果11,TTpακ==，试求物态方程。解：以,Tp为自变量，物质的物态方程为(),,VVTp=其全微分为.pTVVdVdTdpTp⎛⎞∂∂⎛⎞=+⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠（1）全式除以V，有11.pTdVVVdTdpVVTVp⎛⎞∂∂⎛⎞=+⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠根据体胀系数α和等温压缩系数Tκ的定义，可将上式改写为2.TdVdTdpVακ=−（2）上式是以,Tp为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln.TVdTdpακ=−∫（3）若11,TTpακ==，式（3）可表为11ln.VdTdpTp⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∫（4）选择图示的积分路线，从00(,)Tp积分到()0,Tp，再积分到（,Tp），相应地体积由0V最终变到V，有000ln=lnln,VTpVTp−即000pVpVCTT==（常量），或.pVCT=（5）式（5）就是由所给11,TTpακ==求得的物态方程。确定常量C需要进一步的实验数据。31.3在0C�和1np下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为51714.8510K7.810.npακ−−−−=×=×T和Tακ和可近似看作常量，今使铜块加热至10C�。问：（a）压强要增加多少np才能使铜块的体积维持不变？（b）若压强增加100np，铜块的体积改变多少？ 解：（a）根据1.2题式（2），有.TdVdTdpVακ=−（1）上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差dV，温度差dT和压强差dp之间的关系。如果系统的体积不变，dp与dT的关系为.TdpdTακ=（2）在α和Tκ可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得()2121.TppTTακ−=−（3）将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。但是应当强调，只要初态()1,VT和终态()2,VT是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。将所给数据代入，可得52174.851010622.7.810nppp−−×−=×=×因此，将铜块由0C�加热到10C�，要使铜块体积保持不变，压强要增强622np（b）1.2题式（4）可改写为()()21211.TVTTppVακ∆=−−−（4）将所给数据代入，有457144.8510107.8101004.0710.VV−−−∆=××−××=×因此，将铜块由0C�加热至10C�，压强由1np增加100np，铜块体积将增加原体积的44.0710−×倍。1.4简单固体和液体的体胀系数α和等温压缩系数Tκ数值都很小，在一定温度范围内可以把α和Tκ看作常量.试证明简单固体和液体的物态方程可近似为()()000(,),01.TVTpVTTTpακ=+−−⎡⎤⎣⎦解:以,Tp为状态参量，物质的物态方程为(),.VVTp=根据习题1.2式（2），有.TdVdTdpVακ=−（1）将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分，在α和Tκ可以看作常量的情形下，有()()000ln,TVTTppVακ=−−−（2）或()()()()0000,,.TTTppVTpVTpeακ−−−=（3）考虑到α和Tκ的数值很小，将指数函数展开，准确到α和Tκ的线性项，有()()()()0000,,1.TVTpVTpTTppακ=+−−−⎡⎤⎣⎦（4）如果取00p=，即有()()()00,,01.TVTpVTTTpακ=+−−⎡⎤⎣⎦（5）1.5描述金属丝的几何参量是长度L，力学参量是张力J，物态方程是(),,0fJLT=实验通常在1np下进行，其体积变化可以忽略。线胀系数定义为51JLLTα∂⎛⎞=⎜⎟∂⎝⎠等温杨氏模量定义为TLJYAL∂⎛⎞=⎜⎟∂⎝⎠其中A是金属丝的截面积，一般来说，α和Y是T的函数，对J仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量，假设金属丝两端固定。试证明，当温度由1Τ降至2Τ时，其张力的增加为()21JYATTα∆=−−解：由物态方程(),,0fJLT=（1）知偏导数间存在以下关系：1.JLTLTJTJL∂∂∂⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠（2）所以，有.LJTJLJTTLALYLAYαα∂∂∂⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠=−⋅=−（3）积分得()21.JYATTα∆=−−（4）与1.3题类似，上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过程，只要金属丝的初态是平衡态，两态的张力差()()21,,JJLTJLT∆=−就满足式（4），与经历的过程无关。1.6一理想弹性线的物态方程为2020,LLJbTLL⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠6其中L是长度，0L是张力J为零时的L值，它只是温度T的函数，b是常量.试证明：（a）等温扬氏模量为20202.LbTLYALL⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠在张力为零时，03.bTYA=其中A是弹性线的截面面积。（b）线胀系数为330033011,2LLLTLαα−=−+其中0001.dLLdTα=（c）上述物态方程适用于橡皮带，设31300K,1.3310NK,Tb−−==×⋅62410110m,510KAα−−−=×=×，试计算当0LL分别为0.5,1.0,1.5和2.0时的,,JYα值，并画出,,JYα对0LL的曲线.解:（a）根据题设，理想弹性物质的物态方程为2020,LLJbTLL⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠（1）由此可得等温杨氏模量为22002200221.TLLLJLbTLYbTALALLALL⎛⎞⎛⎞∂⎛⎞==+=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠（2）张力为零时，003,.bTLLYA==（b）线胀系数的定义为1.JLLTα∂⎛⎞=⎜⎟∂⎝⎠由链式关系知71,LTJLLTJα∂∂⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠（3）而20002220020302,21,LTLLdLJLLbbTTLLLLdTLJbTLLL⎛⎞⎛⎞∂⎛⎞=−+−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛⎞∂⎛⎞=+⎜⎟⎜⎟∂⎝⎠⎝⎠所以23000222300003200330021111.212LLdLLLLbbTLLLLdTdLLLLLdTTLbTLLLα⎛⎞⎛⎞−−+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=−=−⎛⎞++⎜⎟⎝⎠（4）（c）根据题给的数据，,,JYα对0LL的曲线分别如图1-2（a），（b），（c）所示。81.7抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界压强0p时将活门关上，试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U与原来在大气中的内能0U之差为000UUpV−=，其中0V是它原来在大气中的体积，若气体是理想气体，求它的温度与体积。解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能U与其原来在大气中的内能0U由式（1.5.3）0UUWQ−=+（1）确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，0.Q=过程中外界对系统所做的功可以分为1W和2W两部分来考虑。一方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由0V变为零。由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强0p可以认为没有变化，即过程是等压的（但不是准静态的）。过程中大气对系统所做的功为1000.WpVpV=−∆=另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功交换，则20.W=因此式（1）可表为000.UUpV−=（2）如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（1.7.10），有00,pVnRT=（3）000()()1VnRUUCTTTTγ−=−=−−（4）式中n是系统所含物质的量。代入式（2）即有0.TTγ=（5）活门是在系统的压强达到0p时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作0p，其物态方程为00.pVnRTγ=（6）与式（3）比较，知0.VVγ=（7）1.8满足npVC=的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证9明：理想气体在多方过程中的热容量nC为1nVnCCnγ−=−解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量0lim.nTnnnQUVCpTTT∆→∆∂∂⎛⎞⎛⎞⎛⎞==+⎜⎟⎜⎟⎜⎟∆∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠（1）对于理想气体，内能U只是温度T的函数，,VnUCT∂⎛⎞=⎜⎟∂⎝⎠所以.nVnVCCpT∂⎛⎞=+⎜⎟∂⎝⎠（2）将多方过程的过程方程式npVC=与理想气体的物态方程联立，消去压强p可得11nTVC−=（常量）。（3）将上式微分，有12(1)0,nnVdTnVTdV−−+−=所以.(1)nVVTnT∂⎛⎞=−⎜⎟∂−⎝⎠（4）代入式（2），即得,(1)1nVVpVnCCCTnnγ−=−=−−（5）其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。1.9试证明：理想气体在某一过程中的热容量nC如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数npnVCCnCC−=−。假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。解：根据热力学第一定律，有10đđ.dUQW=+（1）对于准静态过程有đ,WpdV=−对理想气体有,VdUCdT=气体在过程中吸收的热量为đ,nQCdT=因此式（1）可表为().nVCCdTpdV−=（2）用理想气体的物态方程pVvRT=除上式，并注意,pVCCvR−=可得()().nVpVdTdVCCCCTV−=−（3）将理想气体的物态方程全式求微分，有.dpdVdTpVT+=（4）式（3）与式（4）联立，消去dTT，有()()0.nVnpdpdVCCCCpV−+−=（5）令npnVCCnCC−=−，可将式（5）表为0.dpdVnpV+=（6）如果,pVCC和nC都是常量，将上式积分即得npVC=（常量）。（7）式（7）表明，过程是多方过程。1.10声波在气体中的传播速度为spαρ⎛⎞∂=⎜⎟∂⎝⎠假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量，试证明气体单位质量的内能u和焓h可由声速及γ给出：11()21aauuhhγγγ=+=+−200,-1其中00,uh为常量。解：根据式（1.8.9），声速a的平方为2v,apγ=（1）其中v是单位质量的气体体积。理想气体的物态方程可表为,mpVRTm+=式中m是气体的质量，m+是气体的摩尔质量。对于单位质量的气体，有1v,pRTm+=（2）代入式（1）得2.aRTmγ+=（3）以,uh表示理想气体的比内能和比焓（单位质量的内能和焓）。由式（1.7.10）—（1.7.12）知0,1RTmumuγ++=+−0.1RTmhmhγγ++=+−（4）将式（3）代入，即有20,(1)auuγγ=+−20.1ahhγ=+−（5）式（5）表明，如果气体可以看作理想气体，测定气体中的声速和γ即可确定气体的比内能和比焓。1.11大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中的低处与高处之间空气不断发生对流，由于气压随高度而降低，空气上升时膨胀，下降时收缩，空气的导热率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程，试计算大气温度随高度的变化率dTdz，并给出数值结果。12解：取z轴沿竖直方向（向上）。以()pz和()pzdz+分别表示在竖直高度为z和zdz+处的大气压强。二者之关等于两个高度之间由大气重量产生的压强，即()()(),pzpzdzzgdzρ=++（1）式中()zρ是高度为z处的大气密度，g是重力加速度。将()pzdz+展开，有()()(),