第四章插值法与函数逼近

第四章插值法与函数逼近A插值法1.根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令证明是n次多项式,它的根是,且.2.当x=1,-1,2时,f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多项式.3.给出f(x)=lnx的数值表用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值.x0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.2231444.给出cosx,0°≤x≤90°的函数表,步长h=1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界.5.设,k=0,1,2,3,求.6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证:i)ii)7.设且,求证8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长应取多少?9.若,求及.10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数).11.证明.12.证明13.证明14.若有个不同实根,证明2000011211121()(,,,,)11nnnnnnnnnxxxVxVxxxxxxxxxx()nVx01,,nxx101101()(,,,)()()nnnnVxVxxxxxxx0kxxkh032max()xxxlxjx0()(0,1,,);nkkjjjxlxxkn0()()1,2,,).nkjjjxxlxkn2(),fxCab()()0fafb21()()().8maxmaxaxbaxbfxbafx44x()xfxexe610h2nny4ny4ny()fxm()()()fxfxhfx()fxk()(0)kfxkmmk()0(mlfxl1()kkkkkkfgfggf1100100.nnkknnkkkkfgfgfggf1200.njnjyyy1011()nnnnfxaaxaxaxn12,,,nxxx15.证明阶均差有下列性质:i)若,则;ii)若,则.16.,求及.17.证明两点三次埃尔米特插值余项是并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,.20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到.21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误差.22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差.23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差.24.给定数据表如下:0.250.300.390.450.530.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值并满足条件i)ii)25.若,是三次样条函数,证明i);ii)若,式中为插值节点,且,则.26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用(8.7)式的表达式).10,02;,1.1()nknjknaknjjxfxn()()Fxcfx0101,,,,,,nnFxxxcfxxx()()()Fxfxgx010101,,,,,,,,,nnnFxxxfxxxgxxx74()31fxxxx0172,2,,2f0182,2,,2f(4)22311()()()()/4!,(,)kkkkRxfxxxxxx()Px(0)(1)PPk()Px(0)(0)0PP(1)(1)1PP(2)1P(),fxCab,abn()nxn()nx,ab()fx2()1/(1)fxx55x10n()hIx()hIx()fx2()fxx,ab()hIx4()fxx,abjxjy()Sx(0.25)1.0000,(0.53)0.6868;SS(0.25)(0.53)0.SS2(),fxCab()Sx222()()()()2()()()bbbbaaaafxdxSxdxfxSxdxSxfxSxdx()()(0,1,,)iifxSxinix01naxxxb()()()()()()()()()baSxfxSxdxSbfbSbSafaSa()Sx()SxB函数逼近1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式.(b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较.2.求证:(a)当时,.(b)当时,.3.在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.4.假设在上连续,求的零次最佳一致逼近多项式.5.选取常数,使达到极小,又问这个解是否唯一?6.求在上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7.求在上的最佳一次逼近多项式.8.如何选取,使在上与零偏差最小?是否唯一?9.设,在上求三次最佳逼近多项式.10.令,求.11.试证是在上带权的正交多项式.12.在上利用插值极小化求1的三次近似最佳逼近多项式.13.设在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为,若有界,证明对任何,存在常数、,使14.设在上,试将降低到3次多项式并估计误差.15.在上利用幂级数项数求的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16.是上的连续奇(偶)函数,证明不管是奇数或偶数,的最佳逼近多项式也是奇(偶)函数.17.求、使为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18.、,定义问它们是否构成内积?19.用许瓦兹不等式(4.5)估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.,ab()sinfxx0,/2()mfxM(,)nmBfxM()fxx(,)nBfxx()sin4fxx0,2()fx,ab()fxa301maxxxax()sinfxx0,/2()xfxe0,1r2()pxxr1,1r43()31fxxx0,1()(21),0,1nnTxTxx***0123(),(),(),()TxTxTxTx*()nTx0,121xx1,11()fxtgx()xfxe1,1()nLxnfL1nnn11()()()()(11).nnnnnTxfxLxTxx1,1234511315165()128243843840xxxxxx()x1,1()sinfxx()fx,aan()fx*()nnFxHab220sinaxbxdx()fx1(),gxCab()(,)()();()(,)()()()();bbaaafgfxgxdxbfgfxgxdxfaga6101xdxx20.选择,使下列积分取得最小值:.21.设空间,分别在、上求出一个元素,使得其为的最佳平方逼近,并比较其结果.22.在上,求在上的最佳平方逼近.23.是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系.24.将在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25.把在上展成切比雪夫级数.26.用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.192531384419.032.349.073.397.827.观测物体的直线运动,得出以下数据:时间(秒)00.91.93.03.95.0距离(米)010305080110求运动方程.28.在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:时间0510152025303540455055浓度01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64用最小二乘拟合求.29.编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图.30.编出改进FFT算法的程序框图.31.现给出一张记录,试用改进FFT算法求出序列的离散频谱a1122211(),xaxdxxaxdx10010121,,,spanxspanxx1220,1xC()fxx1,12411,,spanxx2sin(1)arccos()1nnxuxx112nnnuxxuxux1()sin2fxx1,1()arccosfxx1,12yabxixiyts()yft4,3,2,1,0,1,2,3kxkxkC(0,1,,7).k