第四章数据拟合法

第四章数据拟合法一、内容分析与教学建议本章内容是对样条函数及其理论的简单介绍，主要介绍了三次样条和B样条。样条插值是分段多项式插值的深化和完善，是插值方法中最重要和最常用的方法。（一）最小二乘法1、数值逼近的另一种重要方法——数据拟合方法，它有别于插值法的主要特点是：不要求拟合曲线过插值点。而最小二乘法是最重要的数据拟合方法之一。2、阐明最小二乘法的最小二乘原理，由最小二乘原理得到超定方程组（又称矛盾方程组），解得超定方程组的解，即得所求拟合曲线的方程。3、使用最小二乘法，关键是根据已知数据点的大致走势，选好基函数，构造拟合函数。4、建议用多媒体演示，给出大量的数据，根据所给数据的特点，选择不同的基函数，构造不同的拟合函数，用计算机现场演算，并画出拟合函数曲线及所给数据点，使学生直观地了解最小二乘法的精髓。（二）正交多项式1、阐明正交多项式的一般定义。2、介绍几个常用的正交多项式：Legendre多项式、Tchebyshev多项式、Laguerre多项式、Hermite多项式，了解它们的表达式以及下列信息：Legendre多项式在[1,1]上关于权()1x正交；Tchebyshev多项式在[1,1]上关于权21()1xx正交；Laguerre多项式在[1,)上关于权()xxe正交；Hermite多项式在(,)上关于权2()xxe正交。（三）最佳平方逼近1、了解最佳平方逼近及最佳平方逼近多项式的概念。2、通过具体例子讲解如何求函数的最佳平方逼近多项式。（四）最佳一致逼近1、简介Bernstein多项式的概念和性质，以及通过构造Bernstein多项式，人们非常简洁地证明了Weierstrass定理，并由此引如一致逼近的概念。2、阐述最佳一致逼近及最佳一致逼近多项式的概念，重点介绍描述最佳一致逼近多项式特征的Tchebyshev定理，并举例说明。3、讲解最小零偏差问题，通过具体例子介绍Tchebyshev多项式的应用——降低逼近多项式的次数。4、这一节的内容理论性比较强，应多结合例子进行讲解。（五）B样条曲线B样条曲线是外型设计中最常用的造型曲线，它是计算几何的重要内容。可向学生简单介绍B样条曲线的基本概念和生成过程，最好用多媒体动画演示，使学生能直观地了解B样条曲线在外型设计中的运用。这一部分可视课时情况，安排介绍内容的深度和广度。本章结束时，建议安排一次上机实习，加深和巩固学生对数据拟合方法，尤其是最小二乘法的了解和掌握。二、补充例题例1利用正交化方法求[0,1]上带权1()lnxx的前三项正交多项式01(),()PxPx，2()Px.分析：本题主要是为了进一步熟悉正交多项式的构造方法。这里要求带权1()lnxx正交，可利用首项系数为1的正交多项式的关系式来求：011022110111()1,()()(),()()()(),()()()(),(1,2,,1)kkkkkPxPxxPxPxxPxPxPxxPxPxkn其中1(,),0,1,2,,1(,)kkkkkxPPknPP；11(,),1,2,,1(,)kkkkkPPknPP.解1()lnlnxxx，利用公式011022110111100()1,()()(),()()()(),(,)(,),0,1;;(,)(,)kkkkkPxPxxPxPxxPxPxxPPPPkPPPP以及内积定义10(,)()()()fgxfxgxdx，得110000001(,)ln1;(,)ln;4PPxdxxPPxxdx所以001100(,)11,()(,)44xPPPxxPP；再由221111110017113(,)ln;(,)ln;41444576PPxxdxxPPxxdx得1111211100(,)(,)137,;(,)28(,)144xPPPPPPPP故221317517()2841447252Pxxxxx.例2求超定方程组（或矛盾方程组）121212121,2,223,34,xxxxxxxx的解.分析：求解超定方程组，一般用最小二乘法。由教材知：直接用正规方程组TTAAxAb求解。解由题设知111112,223314Ab，故正规方程组的系数矩阵和右端项分别为1597,971TTAAAb.解正规方程组12121597,971xxxx得122912,3912xx.例3求形如(,bxyaeab为常数，且0)a的经验公式，使它能和下表数据相拟合：1.001.251.501.752.005.105.796.537.458.46iixy分析：经验公式bxyae不是多项式，应设法将其变为多项式。本题可通过取对数的方法将bxyae变为lnlnyabx，若令ln,lnyyAa，则有yAbx.求出yAbx后在变回bxyae即可。解对经验公式bxyae两边取自然对数，得lnlnyabx.令ln,lnyyAa，则有yAbx.取01()1,()xxx.为了求出,Ab，需将数据(,)iixy转化为(,)iixy，即1.001.251.501.752.001.6291.7561.8762.0082.135iixy根据最小二乘法，需求出正规方程组，经计算有44422000111000440100(,)15,(,)17.5,(,)11.875;(,)19.404,(,)14.422;iiiiiiiiiixxyyyxy故由57.509.404,7.5011.87514.422AbAb解得1.122,0.5056,3.071AAbae.于是最小二乘拟合曲线为0.50563.071xye.例4选取常数a，使301maxxxax达到最小。又问这个解是否惟一？分析：本题可以这样理解：即把常数0看作是函数3xax在[0,1]上的最佳一致逼近多项式，然后按照零为3xax的最佳一致逼近多项式的充要条件去确定常数a.解法一要使301maxxxax达到最小，只要使0为函数3xax在[0,1]上的最佳一致逼近多项式。由于0为函数3xax在[0,1]上的最佳一致逼近多项式的充要条件是：0在[0,1]上有2个轮流为正、负的偏差点。若设3()xxax，则()x与0的偏差点使()x达到最大，且这些偏差点一定是使()x取最大或最小或取极值的点，因此需考察这些点。由32(),()3,()6xxaxxxaxx得：当(0,1),0xa时，()x在点3xa处取极小值，且极小值为3212322()3333aaxaa；在区间端点有(0)0,(1)1a.显然，(0)不能使()x达到最大。故令(1)()x，即322133aa，整理得3242754270aaa，分解得2(43)(3)0aa，所以34a或3a.当34a时，312(0,1)xa；当3a时，31xa.由(1)(1)，解得(1)0.另一方面，又有(1)1132a，从而产生矛盾。所以使301maxxxax达到最小时，a有惟一解34.解法二设3()xxax，因为()x在[1,1]上是奇函数，所以330111maxmaxxxxaxxax，根据最小；零偏差多项式定理，有333213()24xaxTxxx，故得34a.从而301maxxxax达到最小时，a有惟一解34.例5设(,)nBfx为()fx的Bernstein多项式，试证：当()mfxM时，恒有(,)nmBfxM.分析：本题结论实际上是：()fx的Bernstein多项式不会产生新的最大值和最小值。利用()fx的Bernstein多项式及常数函数的Bernstein多项式可以证明题中的结论。证因为0(,)(1),[0,1]nknknknkBfxfxxxkn，及()mfxM，所以000(1)(1)(1)nnnknkknkknkkkknnnkmxxfxxMxxkkkn，即00(1)(,)(1)nnknkknknkknnmxxBfxMxxkk.又因为0(1)[(1)]1nknknknxxxxk，故(,)nmBfxM.例6设()[,]fxCab，,mM分别为()fx在[,]ab上的最小值和最大值，则()fx在[,]ab上的零次最佳一致逼近多项式为*01()()2PxmM.分析：连续函数()fx在闭区间[,]ab上一定可达到,mM，故存在12,[,]xxab，使12(),()fxmfxM.只要能够证明12,xx是*0()Px与()fx的一对偏差点，即可按照Chebyshev定理得出题中结论。证由闭区间上连续函数的性质知：存在12,[,]xxab，使得12(),()fxmfxM.令01()()2PxmM，则10120111()()()(),2211()()()(),22fxPxmmMMmfxPxMmMMm即01max()()()2axbfxPxMm，故12,xx是0()Px与()fx的一对偏差点，从而由Chebyshev定理知：*001()()()2PxmMPx.即当()[,]fxCab时，()fx在[,]ab上的零次最佳一致逼近多项式为*01()()2PxmM.