第四章无限长单位脉冲响应滤波器的设计方法

第四章无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法1．)3)(1(3)(sssHa，试用脉冲响应不变法及双线性变换将以上模拟传递函数H(z)，采样周期T=0.5。解：(1)用脉冲响应不变法：21115.115.01353.08297.012876.0143143)(323123)(zzzzezezHsssHa(2)用双线性变换)2(4)21(3|)()(1211111zzzsHzHzzsa2．11)(2sssHa，采样周期T=2,重复第1题。解：(1)用脉冲响应不变法：232131232131)(jsjjsjsHa2112211111)2321(1)2321(1353.01181.018386.0)(3cos213sin342123121231)(zzzzHzezezezejzejzHjj方法：)(3sin34)()()(23sin32)(21nnuenTThnhttuethnata2111353.01181.018386.0)(zzzzH(2)双线性变换22111321|)()(11zzzsHzHzzsa3．13223)(2ssssHa，采样周期为T=0.1，重复第一题。解：(1)脉冲响应不变法211105.011.0211105.011.08607.08561.111404.015.0105.011.0)(212111)(8607.08561.111404.015.0105.011.0)(212111)(zzzzezezHsssHzzzzezezHsssHaa(2)双线性变换)3(245|)()(1211111zzzsHzHzzsa4．用脉冲不变法将以下)(sHa转换为H(z)，采样周期T。解：(1)22)()(basassHa方法一：jbasjbassHa2121)(22111)(1)(cos21)cos1(1212)(zebTzebTzeTzeTzeTzHaTaTaTjbaTjba方法二：2211cos21)cos1()()()()()(cos)(zebTzebTzeTzHnuTenTThnhtbtuethaTaTaTaTnaaTa(2)211212220)1(11)()()()()()()(00000zezeATzedzdzATzHnuneATnhtuAtethssAsHTsTsTsTnstsaa(3))11()()1()!1()()()!1()()()!1()(.,)()(111110000zedzdzmATzHnuenmATnhtuetmAthssAsHTsmmmTnsmmtsmama,m为任意整数5．ssHa1)(是理想积分器，其输出信号是输入信号的积分taadxty)()()(tya就是曲线)(ax下的面积，现用脉冲响应不变法将)(sHa转换为一数字积分器，写出数字积分器的传递函数，差分方程，画出其结构图，并证明所得数字系统的功能与原模拟系统的差别就在于以)(txa采样值向后所做的矩形面积来代替)(ax的连续面积。解：)1()()(,1)(1nynTxnyzTzHx(n)Ty(n)1zx(n)是)(txa采样值。Tx(n)就是以)(txa采样值向后所做的矩形面积，由差分方程y(n)=Tx(n)+y(n-1)，可见系统是递归型的，当前的y(n)等于当前)(txa采样值向后所做的矩形面积之和，即nmmTxny)()(，这正是：y(n)=x(n)*h(n)=Tx(n)*u(n)由此证明所得数字系统的功能与原模拟数字系统的差别就在于以)(txa采样值后所做的矩形面积来代替)(ax的连续面积。6．以双线性变换11112zzTs代替脉冲响应不变法，重复第五题。并证明这时数字系统的功能就是将前后两采样点之间联机所围成的梯形面积来代替)(ax的连续面积。解：)1()]1()([2)(,112)(11nynxnxTnyzzTzHx(n)y(n)1zT/2同第五题。(T/2)[x(n)+x(n-1)]是)(txa两采样点之间联机所围成的梯形面积。y(n)等于这块梯形面积加以往各梯形面积之和，以代替)(ax的连续面积。用数学式子加以表示：mmxmxTnununxTnynhnxnynunuTnh)]1()([2)]1()([*)(2)()(*)()()],1()([2)(7．一个采样数字处理低通滤波器如图，H(z)的截止频率为2.0c，整个系统相当于一个模拟低通滤波器，今采样频率kHzfs1，问等效于模拟低通的截止频率cf=？若采样频率分别为HzkHzfs200,5，而H(z)不变，问这时等效于模拟低通的截止频率又为多少？)(txax(n)y(n))(tya解：HzffkHzfHzffkHzfffsccssccsscc5002,51002,1/28．设采样频率为sf=6.28318kHz，用脉冲响应不变法设计一个三阶巴特瓦兹数字低通，截止频率为cf=1kHz,并画出该低通的并联结构图。解：128318.6122fTTcc设211132321323211232143679.01113413411)(111)()(2)(211)(zzzzejezejezezHssssssssHjjjjccca并联结构如图：A/DH(z)D/A0．36791zx(n)y(n)-11z-11z9．用双线性变换设计一个巴特瓦兹数字低通，采样频率为sf=1.2kHz，截止频率为cf=400Hz。解：数字域临界频率为322Tfcc，预畸的模拟滤波器临界频率3)2/(ctgc)33)(3(33)3)(3)(3(33)(23432sssesesssHjja将c代入式(4-19))357()373()373()735()1(33|)()(123311111zzzzsHzHzzsa10．用双线性变换设计一个巴特瓦兹数字低通，采样频率为sf=6kHz，截止频率为cf=1.5kHz。解：数字域临界频率为5..02Tfcc,预畸的模拟滤波器临界频率1)2/(ctgc,1221)(23ssssHa将c代入式(4-19)由双线性变换得：232111333121|)()(11zzzzsHzHzzsa11．用双线性变换设计一个巴特瓦兹数字高通，采样频率为sf=720Hz，上下边带截止频率为HzfHzf300,6021。解：数字域的上下边带截止频率652,62221TfTf代入式(4-28),求中心频率：5.0,0sinsin)sin(cos021210代入式(4-30)，求模拟低通的截止频率：3sincos5.011csoc模拟低通为3363233)(23ssssHa)357()373()373()357()1(33|)()(24621122zzzzsHzHzzsa12．若)(tua是模拟网络)(sHa的阶跃响应，也就是网络在单位阶跃输入的情况下的输出，即)(txa=u(t)则)(),()(nututydaa为数字网络H(z)的阶跃响应，即网络在单位阶跃序列输入下的输出序列，x(n)=u(n)则)()(nunyd。如果已知)(sHa及)(tua，令)()(nTunuad这样来设计H(z)就称为阶跃不变法，试用阶跃不变法确定H(z)与)(sHa的关系。解：)()()(nhnunud两边取z变换得：)(1)(zHzzzUd)()()(),(1)(thtutuzUzzzHaad})]](1[{[1)()]](1[[)()(),(1)(11nTtanTtaadaasHsSZzzzHsHsSnTunusHssU其中表示反拉氏变换。13．证明式(4-37)满足全通特性，即1|)(|jeg。证明：1|)()(||1|1)(1|)()(||1|1)(11111111ijjijjiijNiiiijjijjiijNiiieeeeezzzgeeeeezzzg14．证明式(4-37)满足稳定性要求，即z平面的单位圆以内映像到u的单位圆以内，z平面的单位圆以外映像到u的单位圆以外。解：jijNijjjjNiiireazeRrereeRzaazu,Re|,1||1|||111111*1,|1||Re|11)(NiNijjjrRrRreRre|r|1当|R|1时，1||,1||11|1|uurRrR即z平面单位圆以外映像到u单位圆以外同理，当|1||Re|||1,11NiNijjjrRrRrRereu当|R|1时，|u|1即z平面单位圆以内映像到u单位圆以内。15．证明式(4-37)当N=1时，即一个实根单节全通函数时，其相位函数)(满足。解：)(11)(11111AeeAeAeAezaazzgjjjjj16．证明式(4-37)当N=2,并且21,aa为一对共轭复根时，2。证明：jezjjjjNijiijeaaeeaaeeaaezg2*21*11*1111)(jjjjeaaeeaaezgaa*111*112*111)(,2)()0(1)(,,1|)(|)(,01)0(11zgezgzgj17．证明式(4-37)的相差一般特性，N。证明：)]()0([01*11*1)()(11)(,,11)(,0jjjNiiiNiiieegegaazgaazg当ia为实数时，N为偶数)]()0([je1，N为奇数)]()0([je-1所以N)()0(当ia为复数时，则两两共轭，N=2R时相当于16题情况)]()0([je1N=2R+1时则有R对共轭复根和一个实根，)]()0([je-1所以N)()0(18．证明u=-z是一个低通到高通，带通到带阻的稳定转换。证明：H(u)=H(-z)=)()()(jjeHeH变化的是相位而幅度无变化。19．若)(11zg及)(12zg分别为两个稳定的全通变换函数，证明)]([121zgg仍然是稳定全通变换函数。证明：|)(11zg|=|)(12zg|=1|)]([121zgg|=1