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Chapter4ConstitutiveEquations本构方程4-1.Introduction引言应力分析：从静力学的角度得到力的平衡方程和边界条件。应变分析：从几何学的角度研究变形几何方程和边界条件。本构关系：研究应力与应变之间存在的内在联系。4-2.Experiments拉伸和压缩时的应变应变曲线1、低碳钢拉伸试验曲线：线弹性阶段：OA弹性阶段：ABB点应力：弹性极限屈服阶段：CDC点应力：上屈服极限D点应力：下屈服极限塑性流动阶段：DH强化阶段：H点以后缩径阶段：b点以后2.无明显屈服阶段材料应力—应变曲线:屈服极限规定用产生0.2％塑性应变所对应的应力来表示。记为σ0.23.包辛格(J.Bauschinger)效应(反向屈服效应):具有强化性质的材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高而在相反方向降低的效应。一般认为这是由多晶材料晶界间残余应力引起的。通常且若称为理想包辛格效应。4.真实应力—应变曲线讨论：σ=P/A0A0：试件初始截面积，σ为名义应力σT=P/AA：试件变形后截面积σT为真实应力σTσ利用体积不可压缩假设：则作图：故有***对简单拉伸，考虑泊松效应若纵向应变，则侧向应变为：截面积体积体积变化4-3.变形能函数物体受力变形的过程，其本质上是一个热力学过程。(1)等温过程：物体在变形过程中，各点的温度与周围介质的温度保持平衡。(2)绝热过程：物体在变形过程中不产生温度的变换。即：物体温度没有升降，热量无损失或增加。由热力学第一定律，物体在变形过程中总能量的变化：δK+δU=δA+δQ其中：δK为动能的变化，K为物体的动能δU为变形能的变化，U为物体的变形能δA为外力功的变化，A为变形过程中外力做的功δQ为热量的变化，Q为物体变形吸收(或散发)的热量设物体的体积为V，变形位移ui，受外力Fi作用则物体的动能变化式中为速度分量，为加速度分量注意到故有外力功的变化：式中Fi为体力，Ti为面力，S为物体的表面积利用应力边界条件和高斯积分公式的展开式：则面力功的变化：注1：则面力功的变化：**注2：取便有即有则面力功的变化：***注3：考察故有其中，为应变分量，表示物体的纯变形部分，为物体的刚性位移部分，称为转动张量应力在刚体位移上不做功。为一二阶对称张量为一二阶反对称张量则面力功的变化：从而有物体变形能的变化注意到又注意到物体运动微分方程为：平衡状态下，有平衡微分方程：从而有若变形过程是绝热的，即则有在平衡状态下，结论：在平衡状态下，外力所做的功等于物体中应变能的变化。或者说，外力所做的功，全部转化为物体的应变能。记变形能的变化则为单位体积应变能的变化。记U0为应变分量的函数，即：显然有其全微分为U0表示由于变形而贮存在物体单位体积内的应变能，称为应变能密度函数。定义：应变能的变化应变余能的变化***有则对于应变能密度函数U0，展开式为：类似地，对于应变余能密度函数U0*，展开式为：有4-4.广义Hooke定律在小变形情况下，忽略应变分量的高阶值，同时利用零初应力状态假定，得到最一般形式下线弹性应力—应变关系的表达式：1、应力—应变关系的一般表示:展开式：简记为：或写成矩阵形式：简记为：一般情况下，系数Cij不是常数，除依赖温度外，还依赖于在物体中所处的位置。通常Cij随着温度的增高而减小。对于均匀的物体，各点的Cij相同。注意到：则有：即[C]为对称矩阵，只有21个独立的弹性系数。即：一般的各向异性弹性材料有21个弹性系数。2、各向异性体弹性材料的应力—应变关系：根据前面的讨论，应变能密度函数U0满足：考察：类似地可得到3、各向同性体材料的广义Hooke定律i各向同性体材料的应力主轴和应变主轴重合。证明：1°以三个应变主轴方向为轴建立坐标系。则对应于三个主轴方向的切应变为零：于是对应于主应变状态的各应力分量为:1′3′2′o2°建立新坐标系。不妨把坐标系1、2、3绕2轴旋转180°得到坐标系1′、2′、3′。坐标系间的方向余弦关系为：在新坐标系1′、2′、3′下，对于各向同性体，弹性常数不随方向而改变，则对应于新坐标系下的各应力分量同样有：应变状态的坐标变换显然有：考察应力状态的坐标变换同时对的影响和对的影响应该没有区别：对于各向同性体材料，在各个方向上的弹性性质相同，显然主应变对的影响与主应变对的影响和主应变对的影响都是相同的，即有即有：同理有于是知：应变主轴坐标系所对应的应力状态是主应力状态，即应变主轴也是应力主轴，或者说：应变主轴和应力主轴重合。从而有：〈ii〉各向同性体材料只存在两个独立的弹性常数已知在主轴坐标系下，类似地不妨记则有引入Lame常数体积应变则有引入非主轴坐标系Oxyz，与主轴坐标系间的方向余弦关系记为：在Oxyz系下的应力和应变状态分别为不妨考察以及利用主轴坐标系下的结论有于是得到各向同性体材料的应力—应变关系即广义Hooke定律为简记为根据由拉梅系数表示的广义虎克定律：可以解出应变以应力分量表示的形式，即得到以工程弹性常数表示的广义Hooke定律为：1工程弹性常数：E，G，E：（拉压）弹性模量，杨氏（Young’s）模量G：剪切弹性模量：泊松比（PoissonRatio）4、以工程弹性常数表示的各向同性体的广义Hooke定律2工程弹性常数与拉梅系数间的关系：其中：由于各向同性体只有两个相互独立的弹性常数，故E、G、不互相独立，可知：同时可得到以工程弹性常数E、表示的拉梅系数为：3为了导出以工程弹性常数表示的各向同性体的广义虎克定律，考虑单向拉伸问题：x向:y向:z向:类似地，叠加：考虑纯剪切问题：即和即有：4为了考察E、与G之间的关系，仍以单向拉伸问题为例：应力状态：应变状态：在45°截面上建立x′y′坐标系：则截面上的应力分量应变分量利用有从而有5以单向拉伸问题为例考察工程弹性常数与拉梅系数间的关系已知：则利用有代入：有即有所以有：利用即代入有从而有物体在均匀压力p作用下，压力p与体积应变的比值的绝对值称为体积压缩模量K，K恒为正。5、体积压缩模量：则广义虎克定律给出：三式相加：于是有：由于在三向等压情况下，综合：这几个弹性常数，有较大的实用意义。4-5.弹塑性力学中常用的简化力学模型2、线性强化弹塑性力学模型1、理想弹塑性模型：3、幂强化力学模型：4、刚塑性力学模型（理想塑性模型）在应力到达屈服极限之前应变为零。4－6.屈服函数与应力空间1、屈服界限的判据：通俗定义屈服点为弹性和塑性的分界点。ⅰ有明显屈服极限的材料：应力超过ｏ，材料不服从虎克定律。屈服应力ｏ，由简单拉伸曲线图决定（下屈服极限）。(1)材料受简单拉伸（压缩）：ⅱ弹塑性分界不明显的材料:依据规定来确定σｏ，供工程设计用。通常采用为屈服极限。定义为卸载后有0.2%塑性变形所对应的应力。(2)复杂应力状态：（确定材料的屈服界限就不那么简单）例如：薄壁圆管受内压P、拉力F和扭矩T作用，管子平均半径r，壁厚为t，t«r。管壁应力可简化为一个平面应力问题。组合应力显然，对于不同的外力组合，所产生的应力状态不同。如何确定屈服极限？内压P：拉力F：扭矩T：(3)对应于不同应力状态的屈服条件：ⅰ在一定的内力组合下，所产生的应力随着内力的增加而进入塑性状态，于是就可得到这种应力状态的屈服条件。ⅱ确定这种屈服条件，也要通过实验确定。由于这种内力组合是多种多样的，实验的次数也将很多，不可能一一做到。所以要以实验为基础，从理论上寻求其规律，找出屈服条件的解析式，建立屈服条件的理论。一般情况下，屈服条件与所考虑的应力状态有关，或者说，屈服条件是一点的6个应力分量的函数，(1)屈服函数：屈服条件是与该点的应力状态即6个应力分量有关的，反映了这6个应力分量对屈服的影响：i表示在一个六维应力空间内的超曲面，屈服条件成立。ii六维应力空间是指6个应力分量的全体所构成的抽象空间，空间中任一点代表一个确定的应力状态。代表这一空间内的曲面，不同于普通空间内的曲面，称之为超曲面。2、屈服函数、屈服面、屈服曲线(2)屈服面：i超曲面点上的物理意义：超曲面上任一点称为应力点，表示一个屈服应力状态。所以超曲面又称为屈服面。例：简单拉伸时，屈服应力，用6维空间来描述，坐标的点就在屈服面上。受扭转薄壁管的纯剪切屈服应力为，坐标的点也是屈服面上的一个点。(以上均为屈服面上的特殊点)ii用主应力空间描述屈服面：主应力：对各向同性材料，坐标方向的变换对屈服条件没有影响，故可选取三个应力主轴为坐标轴，屈服条件成为：或（应力不变量也与坐标轴的选取无关）应力偏量：已知引起弹性体体积变化的球形应力状态（静水压力）不影响材料的屈服，因此屈服条件也可以用应力偏量或应力偏量不变量J2，J3来表示，即有讨论：1°屈服条件可化为应力偏量的函数。2°屈服函数可在主应力构成的坐标空间（主应力空间）内来讨论。3°主应力空间是一个三维空间，在这一空间内，屈服函数的几何图像可以直观的绘出，有利于对屈服面的认识。4°由因应力偏量第二不变量恒为正值，第三不变量J3当应力变号时J3也变号，故屈服函数f必为J3的偶函数。或(3)屈服曲线：ⅰ主应力空间特征：建立应力主轴坐标系，过原点O做直线On与坐标轴夹角相等：由则注意到故有在On线上任一点所对应的应力状态为：讨论：On线上任一点都对应一个球形应力状态，或静水应力状态，其应力偏量的分量：iiπ平面：某一点的应力状态，可设想用应力空间一点来表示，如图。OP为该点应力矢量，矢量OP可分解为沿等倾面法线On及平行于等倾面的两个矢量OQ及OS：OP=OQ+OS若，该点的应力状态为静水压力情况，则OP必沿On线方向，此时OQ=OP，OS=0。故一般情况下，把应力状态分界为静水压力及应力偏量状态时，分矢量OQ代表静水压力部分，而OS代表应力偏量部分，也就是确定材料是否屈服的有关部分。这个有特殊意义的平面，称之为“π平面”。矢量OS在应力轴上的投影为s1，s2，s3。或r：平面到原点的距离平面过原点时r=0，即有σ1+σ2+σ3=0是为“π平面”。OS所在平面即平均应力为零的平面，它平行于等倾面又通过坐标原点，可用方程表示为：（思考？）***法线为的任一平面的平面方程：iii应力分量讨论：*考虑静水应力分量OQ：**由于On线上σ1=σ2=σ3=σm，应力偏量分量OS：或τ8：八面体上的切应力又八面体切应力**等倾面上思考？其中pN为等倾面上的全应力：pN(XN,YN,ZN)：一点附近正八面体是由八个等倾面封闭组成的，故上述等倾面的正应力和切应力也称之为八面体上的正应力和切应力，通常用σ8和τ8表示，即八面体应力：ⅳ屈服曲线：π平面法线上应力点矢量特征屈服面是柱形体屈服曲线在π面上屈服轨迹的特性**在应力空间中，将实验所得各种应力状态下初次屈服时的应力点连起来构成一个空间曲面，即屈服面。它将应力空间分成两部分，应力点在屈服面内属弹性状态，在屈服面上属弹性状态的极限和塑性状态的开始；在屈服面外则属于塑性状态的继续。π平面法线上应力点矢量特征屈服面是柱形体屈服曲线在π面上讨论：若应力空间中一点P1已达到屈服状态，其应力矢量OP1在π平面上分矢量OS1,过P1点且平行于π平面法线On的直线AB上的任一点P(P1’,P1’’,…)，其应力矢量在π平面上的分矢量皆为OS1，即应力偏量相同。即当P1点达到屈服状态（屈服面上的一点）时，AB线上各应力点亦同时达到屈服。AB是屈服面上的一条直线。同样过P2点平行于On的DE线上的各点也随着P2点同时达到屈服。由此判定，屈服面的几何图形是柱形体，其轴线为On，其母线垂直于π平面。因此屈服面的形状可用与平面的截线C来表示。截线C称之为“屈服轨迹”，也叫屈服曲线。以上讨论由三方面含义：①应力空间中任一条平行于平面法线On的直线AB上各点的应力偏量分量均相等，只是静水压力分量不同。②一点的塑性屈服只取决于应力偏量状态，与静水应力无关。③屈服函数在平面上是一条封闭曲线，称之为屈服曲线。①自原点O出发的任一向径不能和曲线C相交两次（因为相交两次意味着有