第四章机械振动

习题四4-1符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动：(1)拍皮球时球的运动；(2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很短)．题4-1图解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用．或者说，若一个系统的运动微分方程能用0dd222t描述时，其所作的运动就是谐振动．(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力．(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为sinmg，如题4-1图(b)所示．题中所述，S＜＜R，故RS→0，所以回复力为mg.式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有mgtmR22dd令Rg2，则有0dd222t4-2劲度系数为1k和2k的两根弹簧，与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．题4-2图解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有21FFF，设串联弹簧的等效倔强系数为串K等效位移为x，则有111xkFxkF串222xkF又有21xxx2211kFkFkFx串所以串联弹簧的等效倔强系数为2121kkkkk串即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为)/(2121kkkkk的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动周期为2121)(222kkkkmkmT串(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有21FFF，即21xxx，设并联弹簧的倔强系数为并k，则有2211xkxkxk并故21kkk并同上理，其振动周期为212kkmT4-3如题4-3图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R．先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．题4-3图解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有221ddsintxmTmg①IRTRT21②Rtx22dd)(02xxkT③式中kmgx/sin0，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有kxRtxRImR22dd)(令ImRkR222则有0dd222xtx故知该系统是作简谐振动，其振动周期为)/2(22222KRImkRImRT4-4质量为kg10103的小球与轻弹簧组成的系统，按)SI()328cos(1.0x的规律作谐振动，求：(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?(3)s52t与s11t两个时刻的位相差；解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0tAx，则知：3/2,s412,8,m1.00TA又8.0Avm1sm51.21sm2.632Aam2sm(2)N63.0mmaFJ1016.32122mmvEJ1058.1212EEEkp当pkEE时，有pEE2，即)21(212122kAkx∴m20222Ax(3)32)15(8)(12tt4-5一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果0t时质点的状态分别是：(1)Ax0；(2)过平衡位置向正向运动；(3)过2Ax处向负向运动；(4)过2Ax处向正向运动．试求出相应的初位相，并写出振动方程．解：因为0000sincosAvAx将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有)2cos(1tTAx)232cos(232tTAx)32cos(33tTAx)452cos(454tTAx4-6一质量为kg10103的物体作谐振动，振幅为cm24，周期为s0.4，当0t时位移为cm24．求：(1)s5.0t时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；(2)由起始位置运动到cm12x处所需的最短时间；(3)在cm12x处物体的总能量．解：由题已知s0.4,m10242TA∴1srad5.02T又，0t时，0,00Ax故振动方程为m)5.0cos(10242tx(1)将s5.0t代入得0.17mm)5.0cos(102425.0txN102.417.0)2(10103232xmmaF方向指向坐标原点，即沿x轴负向．(2)由题知，0t时，00，tt时3,0,20tvAx故且∴s322/3t(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为J101.7)24.0()2(10102121214223222AmkAE4-7有一轻弹簧，下面悬挂质量为g0.1的物体时，伸长为cm9.4．用这个弹簧和一个质量为g0.8的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开cm0.1后，给予向上的初速度10scm0.5v，求振动周期和振动表达式．解：12311mN2.0109.48.9100.1xgmk而0t时，-12020sm100.5m,100.1vx(设向上为正)又s26.12,51082.03Tmk即m102)5100.5()100.1()(222222020vxA45,15100.1100.5tan022000即xv∴m)455cos(1022tx4-8图为两个谐振动的tx曲线，试分别写出其谐振动方程．题4-8图解：由题4-8图(a)，∵0t时，s2,cm10,,23,0,0000TAvx又即1srad2T故m)23cos(1.0txa由题4-8图(b)∵0t时，35,0,2000vAx01t时，22,0,0111vx又253511∴65故mtxb)3565cos(1.04-9一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子．现有一质量为m的物体从离盘底h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动．(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同?(2)此时的振动振幅多大?(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程．解：(1)空盘的振动周期为kM2，落下重物后振动周期为kmM2，即增大．(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，0t时，则kmgx0．碰撞时，以Mm,为一系统动量守恒，即0)(2vMmghm则有Mmghmv20于是gMmkhkmgMmghmkmgvxA)(21))(2()()(2222020（3）gmMkhxv)(2tan000(第三象限)，所以振动方程为gmMkhtMmkgMmkhkmgx)(2arctancos)(214-10有一单摆，摆长m0.1l，摆球质量kg10103m，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水平向右的冲量14smkg100.1tF，取打击时刻为计时起点)0(t，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程．解：由动量定理，有0mvtF∴1-34sm01.0100.1100.1mtFv按题设计时起点，并设向右为x轴正向，则知0t时，100sm01.0,0vx＞0∴2/30又1srad13.30.18.9lg∴m102.313.301.0)(302020vvxA故其角振幅rad102.33lA小球的振动方程为rad)2313.3cos(102.33t4-11有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为m20.0，位相与第一振动的位相差为6，已知第一振动的振幅为m173.0，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差．题4-11图解：由题意可做出旋转矢量图如下．由图知01.02/32.0173.02)2.0()173.0(30cos222122122AAAAA∴m1.02A设角为OAA1，则cos22122212AAAAA即01.0173.02)02.0()1.0()173.0(2cos2222122221AAAAA即2，这说明，1A与2A间夹角为2，即二振动的位相差为2.4-12试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：(1)cm)373cos(5cm)33cos(521txtx(2)cm)343cos(5cm)33cos(521txtx解：(1)∵,233712∴合振幅cm1021AAA(2)∵,334∴合振幅0A4-13一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为m)652cos(3.0m)62cos(4.021txtx试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。解：∵)65(6∴m1.021AAA合3365cos3.06cos4.065sin3.06sin4.0coscossinsintan22122211AAAA∴6其振动方程为m)62cos(1.0tx(作图法略)*4-14如题4-14图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知x方向的振动方程为cm2cos6tx，求y方向的振动方程．题4-14图解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为2或23；又，轨道是按顺时针方向旋转，故知两分振动位相差为2.所以y方向的振动方程为cm)22cos(12ty解:(1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x，又是时间t的函数，即),(txfy．间变化的规律．当谐波方程)(cosuxtAy中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一．(3)振动曲线)(tfy描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y，横轴为t；波动曲线),(txfy描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为y，横轴为x．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图