高中数学完整讲义——二项式定理1.二项展开式1求展开式中的指定项

高中数学讲义1思维的发掘能力的飞跃1．二项式定理⑴二项式定理011222...nnnnnnnnnnabCaCabCabCbnN这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项011222...nnnnnnnnnCaCabCabCb叫做nab的二项展开式，其中的系数0,1,2,...,rnCrn叫做二项式系数，式中的rnrrnCab叫做二项展开式的通项，用1rT表示，即通项为展开式的第1r项：1rnrrrnTCab．⑶二项式展开式的各项幂指数二项式nab的展开式项数为1n项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数n．②字母a的按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n．⑷几点注意①通项1rnrrrnTCab是nab的展开式的第1r项，这里0,1,2,...,rn．②二项式nab的1r项和nba的展开式的第1r项rnrrnCba是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的．③注意二项式系数（rnC）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是nab这个标准形式下而言的，如nab的二项展开式的通项公式是11rrnrrrnTCab（只须把b看成b代入二项式定理）这与1rnrrrnTCab是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是rnC，但项的系数一个是1rrnC，一个是rnC，可看出，二项式系数与项的系知识内容求展开式中的指定项高中数学讲义2思维的发掘能力的飞跃数是不同的概念．⑤设1,abx，则得公式：12211......nrrnnnnxCxCxCxx．⑥通项是1rTrnrrnCab0,1,2,...,rn中含有1,,,,rTabnr五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n不是很大，x比较小时可以用展开式的前几项求(1)nx的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”⑵二项式系数的性质：nab展开式的二项式系数是：012,,,...,nnnnnCCCC，从函数的角度看rnC可以看成是r为自变量的函数fr，其定义域是：0,1,2,3,...,n．当6n时，fr的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n时fr的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式mnmnnCC得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是01211,,112nnnnnnCCC，高中数学讲义3思维的发掘能力的飞跃312123nnnnC，．．．，112...2123....1knnnnnkCk，12...21123...1knnnnnknkCkk，．．．，1nnC．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...nnn），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k依次取1，2，3，…等值时，rnC的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n是偶数时，1n是奇数，展开式共有1n项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2nnC．当n是奇数时，1n是偶数，展开式共有1n项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122nnnnCC．③二项式系数的和为2n，即012......2rnnnnnnnCCCCC．④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2nnnnnnnCCCCCC．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．【例1】6312x的展开式中的第四项是．【例2】6xyyx的展开式中，3x的系数等于____．【例3】353121xx的展开式中x的系数是A．4B．2C．2D．4典例分析高中数学讲义4思维的发掘能力的飞跃【例4】若9axx的展开式中3x的系数是84，则a．【例5】5axx()xR展开式中3x的系数为10，则实数a等于A．1B．12C．1D．2【例6】若2012(12)nnnxaaxaxax，则2a的值是（）A．84B．84C．280D．280【例7】8(2)xy的展开式中62xy项的系数是（）A．56B．56C．28D．28【例8】若554541031xaxaxaxa，则2a的值为（）A．270B．2702xC．90D．902x【例9】的展开式中的系数是_______（用数字作答）．【例10】在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．64(1)(1)xxx25(42)xxx高中数学讲义5思维的发掘能力的飞跃【例11】在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．【例12】在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．【例13】求展开式中含项系数．【例14】在的展开式中，项的系数是．（用数字作答）【例15】的展开式中的系数等于________．（用数字作答）【例16】展开式中的系数是_______（用数字作答）．【例17】在的展开式中的系数是（）25(42)xx2x25(42)xx3x294(31)(21)xxx2x26(1)(1)(1)xxx2x2345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx2x291()2xx9x8(1)(1)xx5x高中数学讲义6思维的发掘能力的飞跃A．−14B．14C．−28D．28【例18】在的展开式中，含的项的系数是（）A．15B．85C．120D．274【例19】在的展开式中，含项的系数是（用数字作答）【例20】求展开式中的系数．【例21】的展开式中的系数是_______（用数字作答）．【例22】在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．【例23】在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．(1)(2)(3)(4)(5)xxxxx4x56789(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx3x26(1)xx5x64(1)(1)xxx25(42)xxx25(42)xx2x高中数学讲义7思维的发掘能力的飞跃【例24】在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．【例25】求展开式中含项系数．【例26】在的展开式中，项的系数是．（用数字作答）【例27】的展开式中的系数等于________．（用数字作答）【例28】展开式中的系数是_______（用数字作答）．25(42)xx3x294(31)(21)xxx2x26(1)(1)(1)xxx2x2345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx2x291()2xx9x高中数学讲义8思维的发掘能力的飞跃【例29】在的展开式中的系数是（）A．−14B．14C．−28D．28【例30】在的展开式中，含的项的系数是（）（A）15（B）85（C）120（D）274【例31】在的展开式中，含项的系数是（用数字作答）【例32】求展开式中的系数．【例33】在二项式的展开式中，含的项的系数是（）A．B．C．D．【例34】的展开式中的系数是______，的系数为______．8(1)(1)xx5x(1)(2)(3)(4)(5)xxxxx4x56789(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx3x26(1)xx5x521xx4x10105534(12)(1)xxx2x高中数学讲义9思维的发掘能力的飞跃【例35】的展开中含的项的系数为（）A．B．C．D．【例36】的展开式中的系数是（）A．B．C．3D．4【例37】求展开式中的系数；【例38】在二项式的展开式中，含的项的系数是（）A．B．C．D．【例39】的展开式中的系数是（）A．B．C．D．【例40】在的展开式中，的系数为（用数字作答）411(1)xx2x4610126411xxx4331011xx5x521xx4x1010556(2)x3x2040801604(1)xx高中数学讲义10思维的发掘能力的飞跃【例41】在的展开式中，的系数为_____（用数字作答）【例42】的二项展开式中含的项的系数为（）A．B．C．D．【例43】若的二项展开式中的系数为则．（用数字作答）【例44】设常数，展开式中的系数为，则＝_____．【例45】已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则．3333(1)11xxxx91xx3x36843684261()xax3x5,2a0a241()axx3x32a26(1)kxk8xk高中数学讲义11思维的发掘能力的飞跃【例46】已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等．【例47】的二项展开式的第项的系数为（）A．B．C．D．【例48】若的二项展开式中的系数为则．（用数字作答）【例49】若与的展开式中含的系数相等，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【例50】已知，则二项式展开式中含项的系数是．【例51】在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若实数，那么．5(cos1)x2x45()4x3xcos101xx6210252210252261()xax3x5,2a__________21()nxm2(1)(*0)nmxnmN，nxm12(]23，2[1)3，(0)，(0)，π0sincosaxxdx61axx2x7(1)ax3x2x4x1a_______a高中数学讲义12思维的发掘能力的飞跃【例52】已知（是正整数）的展开式中，的系数小于，则______．【例53】的展开式中的系数为．【例54】若的展开式中，的系数是的系数的倍，求；【例55】的展开式中，的系数与的系数之和等于__________．【例56】已知为实数，展开式中的系数是，则_______．26(1)kxk8x120k4()xyyx33xy(1)nx3xx7n10()xy73xy37xya10()xa7x15a高中数学讲义13思维的发掘能力的飞跃【例57】二项式的展开式中第三项系数比第二项系数大，求第项的系数．【例58】求的二项展开式中含的项的二项式系数与系数．【例59】若的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中项的系数为_______．【例60】令为的展开式中含项的系数，则数列的前项和为．41nxxx44491xx3x12nxx4xna1()(1)nnfxx1nx1{}na2009______高中数学讲义14思维的发掘能力的飞跃【例61】在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等