第四章生产论习题 (2)

导数公式1、0C2、1xx3、vuvu4、vuvuuv5、2vvuvuvu积分公式：1、0dxcc是常数2111xdxxc1第四章生产论习题3.已知生产函数Q＝f(L，K)＝2KL－0.5L2－0.5K2，假定厂商目前处于短期生产，且K＝10。(1)写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPL函数、劳动的平均产量APL函数和劳动的边际产量MPL函数。(2)分别计算当劳动的总产量TPL、劳动的平均产量APL和劳动的边际产量MPL各自达到最大值时的厂商的劳动投入量。(3)什么时候APL＝MPL？它的值又是多少？解答：切入点：（1）题根据AP、MP定义可得出答案。（2）题：要求得TP、AP、MP的最大值，只要对它们的函数求导，使得导数为0，就可以得到极值点。再求它们的二阶导数，如果为负就说明达到了极大值。注意MP，在这里是一条斜率为负的直线，所以直接判断就可以。（3）MP和AP曲线相交于AP线的最大值点上，明确这点就可以得出结论。（1）由已知的生产函数225.05.02KLKLQ，而且10K可得短期生产函数为：505.020105.05.020222LLLLQ根据定义：劳动的总产量函数505.0202LLTPL劳动的平均产量函数LLLTPAPLL505.020劳动的边际产量函数LdLdTPMPLL20（2）求总产量的最大值：令0dLdTPL即：020L解得20L且：2210LdTPdL所以当劳动投入量为20时，LTP最大。关于平均产量的最大值：令0LdAPdL即0505.02L解得10L且：2321000LdAPLdL所以当劳动投入量为10时，劳动的平均产量最大。关于边际产量的最大值：边际产量函数LMPL20，是一条斜率为负的直线，应该知道劳动的投入量不会是负值，所以当劳动投入量为0时，劳动的边际产量LMP达到最大值。（3）当劳动的平均产量达到最大值时，一定有LLMPAP，由以上计算可知当10L时，劳动的平均产量达到最大。LAP的最大值101050105.020将10L代入劳动的边际产量函数LMPL20，可得101020LMP，所以，当劳动投入量10L时，10LLMPAP5．已知生产函数为Q＝min{2L，3K}。求：(1)当产量Q＝36时，L与K值分别是多少？(2)如果生产要素的价格分别为PL＝2，PK＝5，则生产480单位产量时的最小成本是多少？解答：切入点：（1）这是个固定比例生产函数，原来我们讲过，如果没有另外说明，都认为min,LKQuv中，LKQuv，把Q=36代入式子就可得L和K的值。（2）同样计算出产量为480时，L和K的值，又知道L和K的价格，最小成本就知道了。（1）生产函数min(2,3)QLK表示该函数是一个固定投入比例生产函数，所以厂商进行生产时，总有23QLK因为已知产量36Q，所以相应地有18,12LK（2）由23QLK，480Q可得：240,160LK又因为5,2KLPP，所以有：224051601280LKCPLPK即生产480单位产量的最小成本为1280。6、假设某厂商的短期生产函数为Q＝35L＋8L2－L3。求：(1)该企业的平均产量函数和边际产量函数。(2)如果企业使用的生产要素的数量为L＝6，是否处理短期生产的合理区间？为什么？解：切入点：（1）根据平均产量和边际产量的定义得到两个函数；（2）合理的投入区域是AP达到最大值时L的投入量到MP=0时，L的投入量之间，计算出这两个L的量，看L=6是不是在这个区域中。（1）根据所给产量函数得2358APLL235163MPLL（2）AP最大值时有()8204dAPLdLL得MP=0时有2351630MPLL，解得L=7所以，合理的劳动投入区域是4到7之间。L=6，处于合理的劳动投入区域中。7、假设生产函数Q＝min{5L,2K}。(1)作出Q＝50时的等产量曲线。(2)推导该生产函数的边际技术替代率函数。(3)分析该生产函数的规模报酬情况。解：（1）Q=5L=2k=50所以：L=10，k=25Lk1025Q=50Lk1025Q=50Lk1025Q=50（2）因为等产量线上某点的边际技术替代率就是等产量线在该点斜率的的绝对值，所以垂直部分边际技术替代率为无穷大，水平部分边际技术替代率为0，直角点上边际技术替代率为2.5。（3）设1，当L和K的投入量扩大倍时，产量为5L=2K=50，即产量也是原来产量的倍，有f(λL，λK)=λ·f(L，K)则规模报酬不变。8、已知柯布道格拉斯生产函数为Q＝ALαKβ。请讨论该生产函数的规模报酬情况。解：设常数0对于生产函数Q=f(L，K)，如果要素投入增加到(λL，λK)后,比较f(λL，λK)和λ·f(L，K)的大小如果f(λL，λK)＞λ·f(L，K)则规模报酬递增。如果f(λL，λK)=λ·f(L，K)则规模报酬不变。如果f(λL，λK)＜λ·f(L，K)则规模报酬递减。设1(,)()()(,)fLKALKALKfLK所以：如果α+β＞1，则f(λL，λK)＞λ·f(L，K)，规模报酬递增。如果α+β=1，则f(λL，λK)=λ·f(L，K)，规模报酬不变。如果α+β＜1，则f(λL，λK)＜λ·f(L，K)，规模报酬递减。9．已知生产函数Q＝AL1/3K2/3。判断：(1)在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？(2)在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？解答：切入点：（1）要分析规模报酬是那种类型，得比较产量增加的比例和生产要素增加比例的大小。设常数1对于生产函数Q=f(L，K)，如果要素投入增加到(λL，λK)后,比较f(λL，λK)和λ·f(L，K)的大小如果f(λL，λK)＞λ·f(L，K)则规模报酬递增。如果f(λL，λK)=λ·f(L，K)则规模报酬不变。如果f(λL，λK)＜λ·f(L，K)则规模报酬递减。（2）短期生产中要看生产函数是否受边际报酬递减规律的支配，得看函数的边际报酬曲线是上升还是下降，也就是看MP曲线的斜率是正还是负，而要得到MP的斜率就是对MP求导。如果结果是负的就是受边际报酬递减规律的支配。(1)因为Q=f(L，K)=A3231KL，于是有：f(λL，λK)=A3231KLλλ=A32313231KLλ=λA3231KL=λ·f(L，K)所以，生产函数Q=A3231KL属于规模报酬不变的生产函数。(2)假定在短期生产中，资本投入量不变，以—K表示；而劳动投入量可变，以L表示。对于生产函数Q=A—31KL23，有：MPL=A31—3KL223且321LAL92dLdMP—K23＜0这表明：在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动的边际产量MPL是递减的。相类似地，假定在短期生产中，劳动投入量不变，以—L表示；而资本投入量可变，以K表示。对于生产函数Q=A—L31K32，有：MPK=A32—L31K31，且A92dKdMPK—L31K311＜0这表明：在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量MPK是递减的。以上的推导过程表明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律的支配。10.令生产函数，20123(,)()fLKLKKL其中0≤αi≤1，i＝0,1,2,3。(1)当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。(2)证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。（1）产量增加的比例和要素投入增加的比例相同，就是规模报酬不变。如果要素投入增加到(λL，λK)后,产量应该增加到λ·f(L，K)。f(λL,λK)=λ·f(L,K)λ＞1（2）在规模不变的情况下，求产量对于L或K的偏导数，就得到相应的MPL和MPK。再对MP求相应的二阶导数，如果结果为负，就证明边际产量递减。(1)根据规模报酬不变的定义f(λL,λK)=λ·f(L,K)(λ＞1)于是有f(λL,λK)=α0+α1[(λL)(λK)]21+α2(λK)+α3(λL)=α0+λα1(LK)21+λα2K+λα3L=λ(α0+α1(LK)21+α2K+α3L)+(1-λ)α0=λ·f(L,K)+(1-λ)α0由上式可见：当α0=0时，对于任何的λ＞1，有f(λL，λK)=λ·f(L，K)成立。即当α0=0时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。（2）在规模报酬不变，即α0=0时，生产函数可以写成f(L，K)=α1(LK)21+α2K+α3L相应的劳动与资本的边际产量分别为：MPL(L，K)=Lf(L，K)=21α1L21K21+α3，MPK(L，K)=Kf(L，K)=21α1L21K21+α2，而且有L(L，K)MPL=2L(L，K)f2=41α1L32K21K(L，K)MPK=2K(L，K)f2=41α1L21K23显然，劳动和资本的边际产量都是递减的。