第四章相关分析

第四章相关分析我们研究的实际问题，受到各种因素的影响，影响因素的不确定性是绝对的，这样问题变量与影响变量之间的关系就不可能用一个确定公式表示，这种关系称为相关关系。前面在研究相关关系时，总是假定影响变量是普通变量。在进行相关分析时，将所有变量，不分因果，同等视为随机变量。相关分析是以样本观察值研究变量间相互关联的密切程度，从而确定模型中的解释变量（自变量）。§4.1相关的概念相关关系：变量间的非确定性关系。存在于两个变量间的相关关系，称为简单相关。三个或三个以上变量之间的相关关系称为复相关（多重相关）。从相关的形态看有线性与非线性之分；从相关的走向看有正相关、负相关和零相关（不相关）。一．简单相关系数：皮尔逊相关相关系数是用来描述变量之间线性关系（相关）程度的指标。1．总体相关系数：22(,)xyxyxyxyCOVxy是不可观察的。2．样本相关系数r：12211niixyinnxyiiiixySrSSxy；22rR，即2rR其中111nxyiiiSxyn，称为样本协方差，且是xy的无偏估计量；22111nxiiSxn，称为x的样本方差；且是2x的无偏估计量；22111nyiiSyn，称为y的样本方差，且是2y的无偏估计量。因此，样本相关系数r可作为总体相关系数的估计，即r二．r，，2R之间的关系：1．2112211nniiiiinniiiixyyrxx，00r对检验与对检验是等价的。2．2rR，r的符号与一致，r与2R的区别：必须进行显著性检验。三．的显著性检验：可将r看作的估计，即r。在总体服从正态分布的假定下，当0时，统计量22(2)1~rnTtnr检验步骤：1．01:0,:0HH；2．计算检验统计量221rnTr；3．对给定的显著性水平，查(2)tn分布表得临界值2(2)tn；4．T与2(2)tn比较，若2(2)Ttn，拒绝0H，接受1H若2(2)Ttn，接受1H，拒绝0H四．相关矩阵R：在研究模型是否满足经典假定6时，需要了解所有自变量简单相关系数，为表达方便，可将所有简单相关系数排成矩阵形式，称为相关矩阵。假设有k个自变量12,,......kxxx。ijr是ix与jx之间的简单相关系数，则相关矩阵R为11121121212222121212...1......1.................................1kkkkkkkkkkrrrrrrrrrrrrrrrR，显然TRR在聚类分析中，相关矩阵也重要的分析工具。§4.2偏相关系数一．偏相关系数的概念：有一组变量12,,,......kyxxx两个变量之间的相关关系（例如y和jx）不只涉及这两个变量，还包括其它变量的影响。因此，y和jx的简单相关系数yir不仅描述了y和jx的相关，同时还包括其余变量通过jx对y的间接影响。若要考虑y和jx的纯的相关关系，就要排除其余变量的间接影响。只考虑两个变量之间的相关关系，并且清除其余变量的间接影响，这种相关叫做偏相关。根据所排除变量个数的多少可分为零阶偏相关（简单相关），一阶偏相关（只排除一个变量的影响），二阶偏相关（排除两个变量的影响），......(1)k阶偏相关（排除其余所有变量的影响）。描述偏相关程度的指标称为偏相关系数，如：yjir（ij）一阶偏相关系数，表示消除了ix的影响后y和jx的相关系数。12ryjkk(1,2jkjk)二阶偏相关系数，表示消除了1kx和2kx的影响后y和jx的相关系数。......1,2,(1),(1),,ryjjjk，（k-1）阶偏相关系数，表示消除了除jx以外其余所有变量的影响后，y和jx的相关系数。这是y和jx的纯的相关系数。二．求法：1,2,......(1),(1),......,ryjjjk1,2,......(1),(1)......(1)1,2,......(1),(1)......(1)1,2,......(1),(1),......(1)22(1)(1)1,2,......(1),(1)(1)1,2,......(1),(1),......(1)rrryjjjkykjjkjkjjkrrykjjkjkjjk可用统计量21,2,......(1),(1),......,211,2,......(1),(1),......,rnyjjjkTryjjjk对其进行检验，检验过程与上节简单相关系数的检验过程类似。§4.3复相关系数在多个变量12,,,......kyxxx的相关关系中，一个变量y与其它所有变量12,,......kxxx的相关关系称为复相关。假设模型为01122,......,kkyxxxu记*01122,......,kkyxxx则有*yyu这样，y与12,,......,kxxx的相关分析变成y与*y的相关分析。其相关系数12(,,,)kyxxx同y与*y的简单相关系数*yy等价。12(,,......,)~kyxxx***(,)yyyyCOVyy其样本估计量121221(,,......,)(,,......,)21()()kkniiyxxxyxxxniiyyRSSRTSSyy在计算上，复相关系数估计量与拟合优度一致，但含义不同。两点说明：1．在多元情况下，12(,,,)kyxxxR总取正号；2．显著性检验是必要的，方法同第一节中类似。