第四章矩阵特征值和特征向量

第四章矩阵的特征值和特征向量教学安排说明章节题目：§4.1矩阵的特征值与特征向量，§4.2相似矩阵与矩阵对角化学时分配：共4学时。§4.1矩阵的特征根与特征向量2学时§4.2相似矩阵与矩阵对角化2学时本章教学目的与要求：目的：通过教学使学生掌握特征根、特征向量、特征多项式等概念，熟练掌握计算特征根与特征向量的方法，属于不同特征根的特征向量的关系，可对角化的判定和计算。要求是：1、正确理解方阵的特征根，特征多项式，特征方程和特征向量等概念。2、重点掌握特征根和特征向量的性质和求法（本章的难点）。3、深刻理解相似矩阵的概念，并熟练掌握它们的性质。4、重点掌握方阵相似对角矩阵的条件（本章的难点）。课堂教学方案课程名称：§4.1特征值与特征向量授课时数：2学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：掌握特征根、特征向量、特征多项式概念及特征根、特征向量的求法；教学重点、难点：特征根、特征向量、特征多项式概念及求法.教学内容§4.1特征值与特征向量1.1方阵的特征值与特征向量定义1设A是n阶方阵，若存在常数和非零n维向量x使关系式Axx（1）成立，则称数为方阵A的特征值；非零向量x称为A对应于特征值的特征向量．下面讨论如何求矩阵的特征值与特征向量.设有n阶方阵nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211和n维列向量nxxxx21将（1）式改写成()0AEx（2）得到一个含n个未知数n个方程的齐次线性方程组0)(0)(0)(221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa此方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式0EA即0212221211211nnnnnnaaaaaaaaa定义2设A为n阶方阵，含有未知量的矩阵EA称为矩阵A的特征矩阵，其行列式EA是的n次多项式，称为矩阵A的特征多项式，记作)(f；0EA称为矩阵A的特征方程.是矩阵A的一个特征值，则一定是0EA的根，因此矩阵A的特征值又称为矩阵A的特征根，在复数范围内，n阶方阵有n个特征值.关于特征向量，做几点说明：（1）对于每一个特征值i，与i对应的特征向量有无穷多个，这是因为齐次方程组()0iAEx每一个非零解都是A的对应于i的特征向量.（2）对应于同一特征值的特征向量的线性组合，仍是特征向量.（3）不同的特征值所对应的特征向量不相等，即一个特征向量只能对应于一个特征值.综上所述，得到矩阵A的特征值与特征向量的求法：（1）求出特征方程0EA的全部根n,,,21（重根按重数计算），则n,,,21就是方阵的全部特征值.（2）对A的每个特征值i，分别代入()0iAEx，得齐次线性方程组()0iAEx（3）求()0iAEx的基础解系，其中每个解向量都是A对应于i的特征向量，基础解系的线性组合就是A对应于i的全部特征向量.例1求矩阵3113A的特征值和特征向量.例2求矩阵310410482A的特征值和特征向量．1.2特征值与特征向量的性质性质1若n阶方阵A的特征值为n,,,21，则（1）nnnaaa221121（2）An21如例2中矩阵284014013A的特征值2,1321，则03210)2()1(3332211aaa；2)2(11321，214132284014013性质2若向量12,xx分别是矩阵A的对应于不同特征值21,的特征向量，则12,xx线性无关.证明若12,xx线性相关，因为12,xx都是非零向量，则有数k使得21kxx，即2x也是A的对应于1的特征向量，与已知条件矛盾，所以，12,xx线性无关.一般地，如果t,,,21是矩阵A的不同特征值，而12,,,iiiis是A的对应于i的线性无关的特征向量),,2,1(ti，则向量组11112112,,,,,,,,tsttts也线性无关.性质3n阶矩阵A与它的转置矩阵TA的特征值相同.证明因为()TTEAEAEA所以A与TA的特征多项式相同，从而它们的特征值相同.性质4设是n阶矩阵A的特征值，则2是2A的特征值.证明因为是A的特征值所以Axx，用A左乘上式，得)()(2xAAxAAAxxA=xxAxxAxA2)()()()(，由于0x以及特征值的定义知22A是的特征值.课后作业习题四1：（1）、(2)；2课堂教学方案课程名称：§4.2矩阵的相似与矩阵的对角化授课时数：2学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：掌握矩阵相似的定义及相关的性质,理解矩阵可对角化的条件.教学重点、难点：矩阵相似的定义及相关的性质,矩阵可对角化的条件.教学内容§4.2矩阵的相似与矩阵的对角化在矩阵的运算中,对角矩阵的运算最方便.自然要问，对于一个n阶方阵A，是否可化为对角矩阵，且保持矩阵A的一些重要性质.本节将讨论这个问题.2.1矩阵相似的定义定义1设A,B都是n阶矩阵，如果有可逆矩阵P，使BAPP1，则称B是A的相似矩阵，或称矩阵A与B相似，记为BA~.其中矩阵P称为相似变换矩阵.从定义显然可看出，矩阵的相似关系具有以下性质:(1)反身性:对任意n阶矩阵A,有AA与相似;(2)对称性:若BA与相似,则B与A相似;(3)传递性:若A与B相似,且B与C相似,则A与C相似.2.2相似矩阵的性质定理1相似矩阵有相同的特征多项式.证明设矩阵A与矩阵B相似所以存在可逆矩阵P，使BAPP1,于是PEPAPPEAPPEB111EPPAPP11=EAPEAPPEAP11)(所以，矩阵A与矩阵B有相同的特征多项式.但应注意，定理的逆命题不成立，例如，矩阵1011,1001BA，它们的特征多项式均为21，但他们不是相似矩阵.定理2相似矩阵有相同的行列式值.证明设矩阵A与矩阵B相似所以存在可逆矩阵P，使BAPP1，于是根据方阵行列式性质，两边求行列式，得APAPAPPB11,即BA,故矩阵A与B有相同的行列式值.定理3相似矩阵有相同的可逆性，且当它们都可逆时，其逆矩阵也相似.证明设矩阵A与矩阵B相似，则BA，故矩阵A与矩阵B具有相同的可逆性.若矩阵A与矩阵B相似且都可逆，则存在可逆矩阵P，使得BAPP1，于是PAPPAPAPPB111111111)()(即11BA与相似.定理4相似矩阵有相同的秩.证明留给读者.2.3矩阵相似的条件由于相似矩阵具有很多共同的性质，在研究矩阵性质时，可通过与其相似的简单矩阵的性质来研究，在n阶矩阵中，对角矩阵是一类很简单的矩阵，下面研究矩阵与对角矩阵的关系定理5n阶矩阵A与对角矩阵n21相似的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量.证明必要性设矩阵A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得nAPP211那么PAP设),,,(21nP，则PAP可写成nnnA212121),,,(),,,(nn，，，2211可得),,2,1(niAiii因为P可逆，有0P，所以),,2,1(nii都是非零向量，因而n，，，21都是A分别对应于特征值i的特征向量，并且这n个特征向量线性无关.充分性设n，，，21为A的n个线性无关特征向量，它们对应的特征值依次为n，，，21，则有),,2,1(niAiii，令),,,(21nP，因为n，，，21线性无关，所以P可逆，且),,,(),,,(2121nnAAAAAP=),,,(2211nn=nn2121),,,(=P用1P左乘上式两端，得APP1，即矩阵A与对角矩阵相似.当矩阵A与对角矩阵相似时，可逆矩阵P由特征向量构成，其对角矩阵的主对角线上的元素为A的特征值.推论若n阶矩阵A有n个相异的特征值n,,,21,则A与对角矩阵n21相似.注意：推论的逆命题不一定成立.对于n阶方阵A,若存在可逆矩阵P,使APP1为对角阵,则称方阵A可对角化.定理6n阶矩阵A可对角化的充要条件是对应于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数.即设i是矩阵A的in重特征值,则A与相似),,2,1()(ninnEArii.例1判断矩阵201034011A是否与对角矩阵相似.例2设00111100xA，问x为何值时，矩阵A能对角化？课后作业习题四4：（1）、(2)；5