第四章矩阵的特征值和特征向量

1第四章矩阵的特征值和特征向量例1求下列矩阵的特征值与特征向量163053064A，并判断它能否相似对角化。若能，求可逆阵P，使APP1（对角阵）。例2已知三阶方阵A的三个特征值为4,3,2，则1A的特征值为_______，TA的特征值为_______，*A的特征值为_______，EAA232的特征值为_______例3设矩阵0011100yxA有三个线性无关的特征向量，则yx,应满足条件_______例5已知矩阵xA10200002与10000002yB相似，则____________yx例6设n阶方阵A满足0232IAA，求A的特征值例7已知向量Tk)1,,1(是矩阵211121112A的逆矩阵1A的特征向量，求常数k例8设A为非零方阵，且0mA(m为某自然数)，证明：A不能与对角阵相似例9设n阶方阵A满足01072IAA，求证：A相似于一个对角矩阵结论总结1n阶方阵A有n个特征值，它们的和等于A的主对角线元素之和(即A的逆trA)，它们的乘积等于A的行列式A2如果m,,1是方阵A的特征值，mPP,,1是与之对应的特征向量，如m,,1互不相等时，mPP,,1线性无关3如果n阶方阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值4如果n阶方阵A与对角阵相似，则的主对角线元素就是A的n个特征值5n阶方阵A与对角阵相似，即A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量26如果n阶方阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似，即A可相似对角化7实对称矩阵的特征值全为实数8实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交9对实对称矩阵nnAA，必存在正交矩阵P，使APP1，其中是以A的n个特征值为主对角线元素的对角阵10方阵A可逆的充要条件是A的特征值全不为零习题一填空题1设A为3阶矩阵，其特征值为2,1,3，则A=________1A的特征值为________，EAA322的特征值为________2如果二阶矩阵4231,127BxyA相似，则__________yx3若n阶可逆阵A的每行元素之和是)0(aa，则数________一定是EA12的特征值4设三阶矩阵A有3个属于特征值的线性无关的特征向量，则______A5若EA2，则A的特征值为________6设n阶方阵A的n个特征值为n,,2,1，则_______IA7设101120101A2n，则_______21nnAA8610005102141A则______limnnA二选择题1设矩阵100321zyxAA的特征值为3,2,1，则()A）8,4,2zyxB)Rzyx,4,1C)Rzyx,2,2D)3,4,1zyx32已知矩阵x123022有一特征向量35，则)(xA)18B)16C)14D)123设53342111xAA有特征值2,621(二重)，且A有三个线性无关的特征向量，则______xA)2B)2C)4D)44若BA~(等价)，则有()A）BIAIB)BAC)对于，矩阵A与B有相同的特征值与特征向量D)A与B均与一对角矩阵相似5已知矩阵A的各列元素之和为3，则()A)A有一个特征值为3，并对应一个特征向量T)1,,1,1(B)A有一个特征值为3，并不一定对应有特征向量T)1,,1,1(C)3不一定是A的特征值D)A是否有特征值不能确定6设A是三阶矩阵,有特征值2,1,1,则下列矩阵中可逆的是()A)AIB)AIC)AI2D)AI2三解答题1.设三阶矩阵A的特征值为3,2,1321，对应的特征向量依次为：T)1,1,1(1，T)4,2,1(2，T)2,3,1(3，又向量T)3,1,1(1)将用321,,线性表示2)求nA(n为自然数)2已知06303012xA有3个线性无关的特征向量，求100A3.设122212221A求A的特征值与对应的特征向量，A是否对角阵相似。若相似，写出使APP1的矩阵P及对角阵，并计算TA)2,3,1(10，5A4.设20135212bA，已知1A，A的伴随矩阵*A的特征值0对应的特征向量4T)1,1,1(，求0和b的值四、证明题1设为n维非零列向量，TTnAaaa,),,,(21证明：1）kAA2(k为某常数)2)是A的一个特征向量。3)A相似于对角阵。2设n阶方阵A有n个对应于特征值的线性无关的特征向量，则EA。3设n阶方阵A的每行元素之和都为常数a，求证：1)a为A的一个特征值；2)对于任意自然数m，mA的每行元素之和都为ma4设三阶方阵A的三个特征值321,,互异，分别对应于特征向量321,,证明：32121,都不是A的特征向量。5设A，B为n阶方阵，证明：BAAB,都有相同的特征值。6设21,是A的两个不同的特征值，是对应于1的特征向量，证明：不是2的特征向量（即一个特征向量不能属于两个不同的特征值）。答案一、161A的特征值为：21,1,31；EAA322的特征值为：3,6,10；2.1,2yx；3.12a；4.A5.16.)!1(n7.08.0二、1B2B3B4B5A6D三132122，23111322322322nnnnnnnA2;36363303401323213411001001011001001001013100010005101011111P5,5215215223110101010A3110423110413110413110413110423110413110413110413110425A43,10b四、提示1略2略3略4略5若AB有特征值0，则0AB，从而0BA即BA也有0为其特征值，若BA有0为其特征值，令相应的特征向量为)0(则BA，两边右乘A，有)()(AAAB则必有0A（否则，0从而0，与假设矛盾），从而有AB，即也是AB的特征值，从而AB与BA的特征值一一对应，从而AB与BA有相似的特征值。6反证法