第四章线性方程组提高题

第四章线性方程组一.填空题1.在齐次线性方程组Am×nx=0中,若秩(A)=k且η1,η2,…,ηr是它的一个基础解系,则r=_____;当k=______时,此方程组只有零解.2.若n元线性方程组有解,且其系数矩阵的秩为r,则当______时,方程组有唯一解;当______时,方程组有无穷多解.3.齐次线性方程组002032321321xkxxxxxkxx只有零解,则k应满足的条件是______.4.设A为四阶方阵,且秩(A)=2,则齐次线性方程组A*x=0(A*是A的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为______.5.设112011121A,则Ax=0的通解为______.6.设α1,α2,…αs是非齐次线性方程组Ax=b的解,若C1α1+C2α2+…+Csαs也是Ax=b的一个解,则C1+C2+…+Cs=______.7.方程组Ax=0以η1=(1,0,2)T,η2=(0,1,−1)T为其基础解系,则该方程的系数矩阵为___.8.设Ax=b,其中112210321A,则使方程组有解的所有b是______.9.设A,B为三阶方阵,其中110121211A11202314kB,且已知存在三阶方阵X,使得AX=B,则k=___________.二.单项选择题1.要使ξ1=(1,0,1)T,ξ2=(－2,0,1)T都是线性方程组Ax=0的解,只要系数矩阵A为(A)112213321(B)211121(C)123020010(D)0200102.设ξ1,ξ2,ξ3是Ax=0的基础解系,则该方程组的基础解系还可以表成(A)ξ1,ξ2,ξ3的一个等阶向量组(B)ξ1,ξ2,ξ3的一个等秩向量组(C)ξ1,ξ1+ξ2,ξ1+ξ2+ξ3(C)ξ1−ξ2,ξ2−ξ3,ξ3−ξ13.n阶矩阵A可逆的充分必要条件是(A)任一行向量都是非零向量(B)任一列向量都是非零向量(C)Ax=b有解(D)当x≠0时,Ax≠0,其中Tnxxxx),,,(214.设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r,则Ax=0有非零解的充分必要条件是(A)r=n(B)r≥n(C)rn(D)rn5.设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,则线性方程组(AB)x=0(A)当nm时仅有零解.(B)当nm时必有非零解(C)当mn时仅有零解(D)当mn时必有非零解6.设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0,若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系(A)不存在(B)仅含一个非零解向量(C)含有二个线性无关解向量(D)含有三个线性无关解向量三.计算证明题1.求方程组174952431132542143214321xxxxxxxxxxx的通解,并求满足方程组及条件5x1+3x2+6x3−x4=−1的全部解.2.设有线性方程组kxxxxxxxxx321321321m4132303,问m,k为何值时,方程组有惟一解?有无穷多组解?有无穷多组解时,求出一般解.3.问λ为何值时,线性方程组324622432132131xxxxxxxx有解,并求出解的一般形式.4.已知α1=(1,2,0),α2=(1,a+2,3−a),α3=(1,−b+2,a+2b)及β=(1,3,−3).i.a,b为何值时,β不能表示成α1,α2,α3的线性组合.ii.a,b为何值时,β有α1,α2,α3的惟一线性表示,并写出该表示式.5.已知方程组1c322422432143214321xxxxxbxxxxxaxx12221434324321xxxxxxxxx同解,试确定a,b,c.6.已知下列非齐次线性方程组(I)、(II)(I)3314623214321421xxxxxxxxxx(II)111125434324321txxxxnxxxmxxi.求解方程组(I),用其导出组的基础解系表示通解;ii.当方程组(II)中的参数m,n,t为何值时,方程组(I)与(II)同解.7.设A是m×n矩阵,R是m×n矩阵,x=(x1,x2,…,xn)T,B是m×m矩阵,求证:若B可逆且BA的行向量都是方程组Rx=0的解,则A的每个行向量也都是该方程组的解.8.A是n阶矩阵,且A≠0.证明:存在一个n阶非零矩阵B,使AB=0的充分必要条件是|A|=0.9.假设A是m×n阶矩阵,若对任意n维向量x,都有Ax=0,则A=0.10.假设1113102112caA，010b，1111.如果η是方程组Ax=b的一个解,试求Ax=b的通解.11.假设111111aaaA，222141B.如果矩阵方程AX=B有解,但解不惟一,试确定参数a.12.A是m×n矩阵,秩为m;B是n×(n－m)矩阵,秩为n－m;又知AB=0,α是满足条件Aα=0的一个n维列向量.证明:存在惟一的一个n－m维列向量β使得α=Bβ.13.矩阵Am×n,证明:Ax=b有解的充要条件是ATZ=0,则bTZ=0.14.假设η1,η2是非齐次方程组Ax=b的两个不同解(A是m×n矩阵),ξ是对应的齐次线性方程组Ax=0的一个非零解,证明:i.向量组η1,η1−η2线性无关;ii.若r(A)=n−1则向量组ξ,η1,η2线性相关.