知识讲解-指数函数及其性质-基础

指数函数及其性质【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=ax(a0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a0且a≠1)的函数才是指数函数．像23xy，12xy，31xy等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：①如果0a，则000xxxx时，a恒等于，时,a无意义.②如果0a，则对于一些函数，比如(4)xy，当11,,24xx时，在实数范围内函数值不存在．③如果1a，则11xy是个常量，就没研究的必要了．要点二、指数函数的图象及性质：y=ax0a1时图象a1时图象图象性质①定义域R，值域（0，+∞）②a0=1,即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点③ax=a，即x=1时，y等于底数a④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤x0时，ax1x0时，0ax1⑤x0时，0ax1x0时，ax1⑥既不是奇函数，也不是偶函数要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“1a”和“01a”两种情形讨论。（2）当01a时，,0xy；当1a时,0xy。当1a时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快。当01a时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快。（3）指数函数xya与1xya的图象关于y轴对称。要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（1）①xya②xyb③xyc④xyd则：0＜b＜a＜1＜d＜c又即：x∈(0,+∞)时，xxxxbadc（底大幂大）x∈(－∞,0)时，xxxxbadc（2）特殊函数112,3,(),()23xxxxyyyy的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0ABAB；0ABAB；0ABAB；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1AB，或1AB即可．【典型例题】类型一、指数函数的概念例1．函数2(33)xyaaa是指数函数，求a的值．举一反三：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）4xy；（2）4yx；（3）4xy；（4）(4)xy；（5）1(21)(1)2xyaaa且；（6）4xy．类型二、函数的定义域、值域例2．求下列函数的定义域、值域.(1)313xxy；(2)y=4x-2x+1；(3)21139x；(4)211xxya(a为大于1的常数)举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1)2-12xy(2)3-3xy(3)2-1xy(4)1-(0,1)xyaaa类型三、指数函数的单调性及其应用例3．讨论函数221()3xxfx的单调性，并求其值域．举一反三：【变式1】求函数2323xxy的单调区间及值域.【变式2】求函数2-2()(01)xxfxaaa其中，且的单调区间.例5．判断下列各数的大小关系：(1)1.8a与1.8a+1；(2)24-231(),3,()33(3)22.5，(2.5)0，2.51()2(4)23(0,1)aaaa与举一反三：【变式1】比较大小：(1)22.1与22.3(2)3.53与3.23(3)0.9-0.3与1.1-0.1(4)0.90.3与0.70.4(5)110.233241.5,(),()33.【变式2】利用函数的性质比较122，133，166【变式3】比较1.5-0.2，1.30.7，132()3的大小.例6.(分类讨论指数函数的单调性)化简：4233-2aaa举一反三：【变式1】如果215xxaa（0a，且1a），求x的取值范围．例7．判断下列函数的奇偶性：)()21121()(xxfx(()x为奇函数)举一反三：【变式1】判断函数的奇偶性：()221xxxfx.类型五、指数函数的图象问题例8．如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数xya的图象，而12,,3,22a，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．举一反三：【变式1】设()|31|xfx，c＜b＜a且()()()fcfafb，则下列关系式中一定成立的是（）A．33cbB．33cbC．332caD．332ca【变式2】为了得到函数935xy的图象，可以把函数3xy的图象()A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度