第四章随机向量及其数字特征

20第四章随机向量及其数字特征基本要求理解二维随机变量及其分布函数的概念，熟记二维随机变量的联合分布与边缘分布的表达式，掌握联合分布的性质，掌握由联合分布决定边缘分布的方法，了解联合分布和边缘分布的关系，理解(X,Y)的期望及方差的概念，记住协方差、相关系数的公式及意义，理解随机变量的相互独立性的概念，并能利用充要条件判断随机变量的独立性。重点二维随机变量的联合分布与边缘分布难点协方差、相关系数的计算。第一节二维随机向量一个试验结果用n个随机变量nXXX,,,21来描述，它们各自反映试验的某一个侧面，则称n个有序数组（nXXX,,,21）为n维随机向量。例如，炮弹弹着点需要由横坐标X和纵坐标Y确定。定义设(X,Y)为二维随机向量，则对任意实数yx,，函数yYxXPyxF,),(称为二维随机向量(X,Y)的联合分布函数。分布函数的性质：（1）),(yxF是不减函数；（2）1),(0yxF（3）0),(lim),(yxFyFx、0),(lim),(yxFxFy0),(F、1),(F二维随机向量(X,Y)作为一个整体，具有分布函数),(yxF，其中的分量X,Y都是随机变量也有自己的分布函数，分别记为)(xFX、)(yFY，分别称为X,Y的边缘分布函数。),(yxF关于X的边际分布函数),(,)(xFYxXPxFX),(yxF关于Y的边际分布函数),(,)(yFyYXPyFY联合分布边际分布，反之不真。第二节二维离散型随机向量21离散型(X,Y)取值只有有限或可列个。所有可能取的值为),(iiyx，,2,1i，,2,1jjiijyYxXPp,联合分布分布函数xxyyijijpyxF),(性质：0ijp，1ijp边际分布jijiiXpxXPxP)()(，iijjjYpyYPyP)()(例1设二维随机向量(X,Y)只能取下列数组中的值)0,2(),31,1(),1,1(),0,0(，且取这些数值的概率为125,121,31,61。求：（1）(X,Y)的联合分布；（2）X与Y的边际分布例2袋中有2只白球，3只黑球,现进行有放回地摸球,定义第一次摸出黑球第一次摸出白球,0,1X第二次摸出黑球第二次摸出白球,0,1Y，求：(1)(X,Y)的联合分布；(2)X,Y的边际分布第三节二维连续型随机向量连续型(X,Y)的定义定义设(X,Y)的分布函数),(yxF，若存在非负函数),(yxf，yx,有YX1y2y3y…1x2x┆11p12p13p……21p22p23p…………………Y1y2y3y…P第列和1第列和2第列和3…X1x2x3x…P第行和1第行和2第行和3…22xydxdyyxfyxF),(),(则称为(X,Y)为二维连续随机向量。),(yxf称为联合密度，xydxdyyxfyxF),(),(称为联合分布函数注意),(),(),(11222121yxFyxFyYyxXxP2121),(),(2121xxyydxdyyxfyYyxXxP性质（1）1),(),(dxdyyxfF；（2）在),(yx处连续时，),(),(2yxfyxyxF（3）DdxdyyxfDYXP),()),((边际密度函数dyyxfxfX),()(，dxyxfyfY),()(例1设随机向量(X,Y)的联合密度函数为)25)(16(),(222yxAyxf，其中A为常数。（1）求常数A；（2）求(X,Y)的分布函数；（3）)50,40(YXP（20A，)215arctan1)(214arctan1(),(yxyxF，161)50,40(YXP）例2设随机向量(X,Y)具有下列联合密度函数，求边际密度函数（1）其他01,1,2),(31yxxeyxfy，（2）其他0,10,23),(xyxxxyxf均匀分布设D是平面上的有界区域，面积为d，若(X,Y)的概率密度函数为其他0),(,1),(Dyxdyxf则称(X,Y)服从D上的均匀分布。第四节二维随机向量的数学特征数学期望),(EYEX方差),(DYDX23协方差)])([(),(EYYEXXEYXCovXY相关系数DYDXXYXY协方差和相关系数刻画X和Y之间的相关程度。性质：（1）bEYaEXbYaXE)(（2）EXEYEXYEYYEXXE)])([(，即EXEYXYEYXCov)(),(（3）),(2)(YXCovDYDXYXD（4）),(),(YXacCovdcYbaXCov（5）),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov以上证明由定义容易推导。（6）)(),(),()(),()],([连续型离散型dxdyyxpyxgpyxgYXgEijijji证明从略。（7）YXXY，DXDYYXCov2)],([证明对任意实数t，有0),(2)]()([22DYYXtCovDXtEYYEXXtE所以判别式04)],([42DXDYYXCov，即DXDYYXCov2)],([（8）1XY由（7）知。（9）222)]([EYEXXYE证明对任意实数t，有0)(2)(2222EYXYtEEXtYtXE所以判别式04)]([4222EYEXXYE，即222)]([EYEXXYE（10）1XY存在ba,使1)(bXaYP0XY时称X、Y不相关；1时称X、Y完全相关注：若1)(bXaYP，则称X、Y以概率为1存在着一种线性关系。24证明从略。例1设随机向量(X,Y)的分布如下表。求YXZ2的期望。yxyxg2),(，2)1,1(g，3)2,1(g，5)1,2(g，6)2,2(g417816215413812EZ例2设随机变量X、Y的联合分布为求（1）XY，（2）),(22YXCov（2002年数学三考研题）例3设随机变量X、Y的相关系数XY为9.0，若4.0XZ，求YZ。（2003年数学三考研题）例4设随机变量X、Y的相关系数XY为5.0，0EYEX，222EYEX，求2)(YXE。（2003年数学三考研题）第五节随机向量的独立性定义设)(),(),,(yFxFyxFYX分别为(X,Y)的联合分布、边缘分布函数，若对任意实数yx,有)()(),(yFxFyxFYX，则称随机变量X、Y独立。换言之，随机变量X、Y独立，即yYPxXPyYxXP,因此，随机变量X、Y独立是指对任意实数yx,，随机事件yYxX,相互独立。YX121281412181YX1010107.018.015.008.032.02.025定理随机变量X、Y独立（)()(),(yFxFyxFYX概念）jiijppp离散)()(),(ypxpyxpYX连续定理若X、Y独立，则（1）EYEXEXY；（2）DYDXYXD)(证明（1）离散型：EXEYpypxppyxpyxEXYjjjiiijijijiijjiji连续型：EXEYdyyyfdxxxfdxdyyxxyfEXYYX)()(),(（2）2)]()[()(YXEYXEYXDDYDXEYYEEXXEDYDX)()(2由上述定理知，DYbDXabYaXD22)(性质X、Y的独立X、Y不相关0XYEYEXEXYXY0DYDXYXD)(DYbDXabYaXD22)(证明X、Y的独立，则EYEXEXY，即0XY独立一定不相关，反之不真。例1设二维随机向量(X,Y)的联合分布律为XY01031012161求)(YXE，)(XYE例2已知随机变量X和Y的分布律分别为X101P412141已知1)0(XYP，(1)求),(YX的联合分布律；(2)X和Y是否相互独立？为什么？例3设随机变量X和Y的密度函数分别为Y01P212126其它,010,1)(xxfX，0,00,2)(2yyeyfyY，若X与Y相互独立，则)()(XYE（1）1（2）21（3）31（4）41例4设),(YX的联合密度为其它,010,12),(2xyyyxf，求边际密度函数)(),(xPxPYX；（2）EYEX,；（3）X、Y是否独立？例5设随机变量),(YX在矩形区域D：dycbxa上均匀分布，证明：X与Y相互独立。例6已知]3,1[~UX、)2(~PY，X与Y相互独立，求)2432(YXYXE，)242(YXD从一维随机变量到二维随机向量关键在于增加了随机变量之间．．的联系，而二维随机向量推广到n维随机向量已无本质上的区别。