26.2二次函数的图像及其性质(很全-很详细-很好)

奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856126.2二次函数的图像【学习目标】1、会做函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并能比较它们的异同；理解a,c对二次函数图象的影响，能正确说出两函数的开口方向，对称轴和顶点坐标；2、了解抛物线y=ax2上下平移规律；3、熟练掌握二次函数的性质；4、应用二次函数解决实际问题。【主要概念】【1】二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx2对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。【2】二次函数图像的画法五点法：1、先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴2、求抛物线cbxaxy2与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。【3】二次函数的性质函数二次函数)0,,(2acbacbxaxy是常数，图像a0a0y0xy0x奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：365178562性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当xab2时，y随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=ab2时，y有最小值，abacy442最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当xab2时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=ab2时，y有最大值，abacy442最大值【4】二次函数)0,,(2acbacbxaxy是常数，中，cb、、a的含义a表示开口方向：a0时，抛物线开口向上a0时，抛物线开口向下b与对称轴有关：对称轴为x=ab2c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）【5】二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的ac4b2，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当0时，图像与x轴没有交点。【5】二次函数的平移1、将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：3651785632、保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向上(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax23、平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．特别记忆--同左上加异右下减说明：①函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，ab值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减【6】二次函数各种形式之间的变换二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；③2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2.【7】二次函数解析式的表示方法1、一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；2、顶点式：2()yaxhk（a，h，k为常数，0a）；3、两根式：12()()yaxxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：365178564【8】二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于x轴对称2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk；关于顶点对称2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是2yaxhk．关于点mn，对称2yaxhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222yaxhmnk【知识点填空】1、二次函数的图像：表达式顶点坐标对称轴最值图像2axy2)(mxay2axy+ckhxay2)(y=ax²+bx+c奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：365178565小知识点总结a)开口方向由a的确定：当a＞0，开口向上；当a＜0，开口向下；b)开口大小由a的绝对值确定：|a|越大开口越大；c)对称轴是直线x等于顶点的横坐标，最值是y等于顶点的纵坐标；d)已知图像如何判断a、b、c的符号具体规则如下：a由图像开口确定（开口向上a＞0，开口向下a＜0），c由图像与y轴的交点确定（交y正半轴c＞0，交y负半轴c＜0），b由对称轴和a共同来确定。说明：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与系数a、b、c、acb42的关系：系数的符号图像特征a的符号a0.抛物线开口向a0抛物线开口向b的符号b0.抛物线对称轴在y轴的侧b=0抛物线对称轴是轴b0抛物线对称轴在y轴的侧c的符号c0.抛物线与y轴交于C=0抛物线与y轴交于c0抛物线与y轴交于acb42的符号acb420.抛物线与x轴有个交点acb42=0抛物线与x轴有个交点acb420抛物线与x轴有个交点【经典例题】【例1】求作函数64212xxy的图象【解】)128(21642122xxxxy2-4)(214]-4)[(212222xx以4x为中间值，取x的一些值，列表如下：x…-7-6-5-4-3-2-1…y…25023-223025…【例2】求作函数342xxy的图象。奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：365178566【解】)34(3422xxxxy7)2[(]7)2[(22xx先画出图角在对称轴2x的右边部分，列表【例3】求函数962xxy的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。【解】7)3(79626222xxxxxy由配方结果可知：顶点坐标为)73(，，对称轴为3x；01∴当3x时，7miny函数在区间]3(，上是减函数，在区间)3[，上是增函数。【例4】求函数1352xxy图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间。103)5(232ab，2029)5(431)5(44422abac∴函数图象的顶点坐标为)2029,103(，对称轴为2029x05∴当103x时，函数取得最大值2029mazy函数在区间]103,(上是增函数，在区间),3[上是减函数。【例5】如果cbxxxf2)(对于任意实数t都有)3()3(tftf，那么（）（A）)4()1()3(fff（B）)4()3()1(fff（C）)1()4()3(fff（D）)1()3()4(fff【解】∵)3()3(tftf对于一切的Rt均成立∴)(xf的图像关于3x对称又01a∴抛物线开口向上。x-2-1012y76543奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：365178567∴)3(f是)(xf的最小值。3431，∴)1()4()3(fff【例6】如果cbxxxf2)(对于任意实数t都有)2()2(tftf，则)1(f)1(f。(用“”或“”填空)【解】∵)2()2(tftf对于一切的Rt均成立∴)(xf的图像关于2x对称又01a∴抛物线开口向下。)2(1)2(1，∴)1()1(ff【例7】求函数522xxy在给定区间]5,1[上的最值。【解】1、原函数化为615222xxxy∵01a∴当1x时，6miny又∵1511∴当5x时，106)15(2maxy2、原函数可化为：910)31(2xy，图象的对称轴是直线31x注意到当21x时，函数为减函数∴313134412322)2(2minfy【例8】已知函数1)2(2nxxny是偶函数，试比较)2(f，)2(f，)5(f的大小。【解】解法一：∵1)2(2nxxny是偶函数，∴0n,∴122xy∴可知函数的对称轴为直线0x又∵02a，020205∴)5()2()2(fff奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：365178568解法二：∵32)1(2mxxmy是偶函数，∴0n,∴122xy可知122xy在),0(上单调递减又∵1)2(2nxxny是偶函数，∴)5()5(ff而225∴)5()2()2(fff∴)5()2()2(fff【例9】求当k为何值时，函数kxxy422的图象与x轴(1)只有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)没有公共点.【解】令0422kxx，则022kxx的判别式kacb81642(1)当0，即0816k，2k时，方程有两个相等的实根，这时图象与x轴只有一个公共点；(2)当0，即0816k，2k时，方程有两个不相等的实根，这时图象与x轴有两个公共点；(3)当0，即0816k，2k时，方程有两个不相等的实根，这时图象与x轴无公共点；【例10】二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列关系式中错误．．的是（）A．a＜0B．c＞0C．acb42＞0D．cba＞0【解】选D【例11】抛物线y=3x2，y=-3x2，y=31x2+3共有的性质是A、开口向上B、对称轴是y轴C、都有最高点D、y随x值的增大而增大【解】三个图象的顶点的横坐标都是0,所以对称轴都是y轴.选B【例12】将二次函数y=3（x+2）2-4的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位，所得的图象的函数关系式是第11题图yxO1－1奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36