直线与圆椭圆同时相切问题的初等解法与高等解法

直线与圆、椭圆同时相切问题的初等解法与高等解法题目：如图，设直线l与圆222CxyR∶(12R)相切于A，与椭圆2214xEy∶相切于点B，当R为何值时,||AB取得最大值？并求最大值．初等解法：设直线l的方程为ykxm，因为直线l与圆C：222xyR(12R)相切于A，所以2||1mRk，即222(1)mRk①，因为l与椭圆2214xEy∶相切于点B，由2214ykxmxy得224()4xkxm，即222(14)8440kxkmxm有两个相等的实数解，则2222226416(14)(1)16(41)0kmkmkm⊿，即22410km,②由①、②可得2222223414RmRRkR，设11(,)Bxy，由求根公式得1228442(14)kmkmkxkmm，∴2211441()kkmykxmkmmmm，∴222221211614||5kOBmRxy，∴在直角三角形OAB中，222222244||||||55()ABOBOARRRR，因为2244RR≥，当且仅当2(1,2)R时取等号，所以2||541AB≤，即当2(1,2)R时，||AB取得最大值，最大值为1．高等解法：上述解法用的是初等数学的解题方法，即解决二次曲线问题常利用的判别式及根与系数的关系(韦达定理)，包括求根公式；特别地，对于直线与圆的相切，可利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．现在提供高等数学方法，即导数的方法．首先利用导数证明下面的常用结论：定理：在曲线221mxny上的任意一点00(,)xy的切线方程为001mxxnyy．证明：在221mxny的两边对x求导，得220mxnyy，即0mxnyy，所以过00(,)xy的切线当有斜率时，斜率为00mxkyny，切线方程为0000()mxyyxxny，即220000nyynymxxmx，又22001mxny，∴001mxxnyy，此切线方程对斜率不存在时也适合．注意，若从221mxny先求出()yfx，再求导，则比较麻烦．利用上面的定理，有下面的高等解法：设11(,)Bxy，22(,)Axy，则圆222CxyR∶在22(,)Axy的切线为222xxyyR，轨迹2214xEy∶在11(,)Bxy的切线为1114xxyy即1144xxyy，由题意222xxyyR与1144xxyy应表示同一条直线，所以222`1144xyRxy，所以2242222111616xyRxy，2242222111616xyRxy，又22222xyR，所以2422111616RRxy，221121616xyR，又221144xy，所以21216124yR，即2124133yR，所以2124144()33xR，∴2212214||5xyORB，∴在直角三角形OAB中，222222244||||||55()ABOBOARRRR，因为2244RR≥，当且仅当2(1,2)R时取等号，所以2||541AB≤，即当2(1,2)R时，||AB取得最大值，最大值为1．比两种解法，显然初等方法比较麻烦，而高等方法比较简单．但是对于文科学生，没有学习复合函数求导法则，更没有学习隐函数求导方法，因此考生是很难想到的，除非平时已经对圆锥曲线上任意一点的切线方程作为一个结论已经记住(这个结论很好记忆)．巩固练习：１、已知焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为45，且过点102(,1)3。（I）求椭圆C的方程；（II）直线l分别切圆222:RMxy（其中35R）与椭圆C于A、B两点，求||AB的最大值．解：（I）设椭圆的方程为222210xyabab（），则∵45ca，∴45ca，∴2222925baca，椭圆过点102,13∴22200191925aa，解得225a，29b故椭圆C的方程为221259xy．（II）解：设直线l的方程为ykxm，因为直线l与圆C：222xyR(35R)相切于A，所以2||1mRk，即222(1)mRk①，因为l与椭圆C相切，所以由221259xykxmy得222(259)5025(9)0kxkmxm，则222(50)4(259)25(9)0kmkm⊿，即22259mk②由①②可得222222R9251625RRmRk，设11(,)Bxy，由求根公式得1225025252(925)kmkmkxkmm，∴221125259()kkmykxmkmmmm，∴2222221162581225||34kOBmxRy∴在直角三角形OAB中，2222222225225||||||3434()ABOBOARRRR，因为22225RR≥30，当且仅当15(3,5)R时取等号，所以2||304AB≤34，即当15(3,5)R时，||AB取得最大值，最大值为2．高等解法留给读者完成．