直线与直线方程集体备课

赣县中学2015年春学期高一数学集体备课单主备人：朱志旺第一课时直线的倾斜角和斜率一、三维目标1.理解直线的倾斜角和斜率的定义，充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，在教学中培养学生数形结合的数学思想.2.掌握经过两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k=1212xxyy（x1≠x2）。二、重点难点教学重点：直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式.教学难：:斜率公式的推导.三、教学过程导入新课如图1所示，在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率.图1提出问题①怎样描述直线的倾斜程度呢？②图2中标出的直线的倾斜角α对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？图2③直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？④日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？⑤正切函数的定义域是什么？⑥任何直线都有斜率么？⑦我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾斜角和斜率呢？如：已知A(2，3)、B(－1，4)，则直线AB的斜率是多少?活动:①与交角有关.当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．.可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了.②考虑正方向.③动手在坐标系中作多条直线，可知倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向的倾斜程度.规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0°，所以倾斜角的范围是0°≤α＜180°.④联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα.⑤教师介绍正切函数的相关知识.⑥说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率.（倾斜角是90°的直线没有斜率）⑦已知直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且直线l与x轴不垂直，如何求直线l的斜率。过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率公式k=1212xxyy。四、应用示例例1已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.变式训练1.已知A(1,33),B(0,23),求直线AB的斜率及倾斜角.2.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)α=0°；（2）α=60°；(3)α=90°.3.求过下列两点的直线的斜率k及倾斜角α.（1）P1(-2,3)，P2(-2,8)；（2）P1(5,-2)，P2(-2,-2).例2已知三点A、B、C，且直线AB、AC的斜率相同，求证:这三点在同一条直线上.变式训练1.若三点A(2,3)，B(3,2)，C(21,m)共线，求实数m的值.2.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线，则a1+b1的值等于_____________.课堂小结（1）掌握已知直线的倾斜角求斜率;（2）直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围；第二课时直线方程的点斜式一、三维目标1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；培养学生思维的严谨性和相互合作意识，注意学生语言表述能力的训练.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.二、重点难点教学重点：引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.教学难点：在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.三、教学过程提出问题①如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？②已知直线l的斜率k且l经过点P1(x1,y1)，如何求直线l的方程?③方程导出的条件是什么？④若直线的斜率k不存在，则直线方程怎样表示？⑤k=11xxyy与y-y1=k(x-x1)表示同一直线吗？⑥已知直线l的斜率k且l经过点（０，ｂ），如何求直线l的方程？四、应用示例例1一条直线经过点P1(-2,3),倾斜角α=45°,求这条直线方程、.变式训练1、判断下列直线的位置关系:(1)l1:y=21x+3,l2:y=21x-2;(2)l1:y=35x,l2:y=-53x.课堂小结1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.第三课时直线的两点式和一般式一、三维目标1.让学生掌握直线方程两点式和一般式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.培养学生数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础.2.了解直线两点式和一般式的的形式特点及适用范围，培养学生树立辩证统一的观点。二、重点难点教学重点：直线方程两点式和一般式.教学难点：关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形.三、教学过程活动:①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师生共同归纳：已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：a.利用直线的斜率公式求出斜率k;b.利用点斜式写出直线的方程.∵x1≠x2,k=1212xxyy,∴直线的方程为y-y1=1212xxyy(x-x1).∴l的方程为y-y1=1212xxyy(x-x1).①当y1≠y2时,方程①可以写成121121xxxxyyyy.②由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式.注意：②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同.①式中只需x1≠x2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x1≠x2且y1≠y2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程.②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x1=x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为x=x1；当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为y=y1.③引导学生注意分式的分母需满足的条件.④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程.因为直线l经过(a，0)和(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得aaxby000.①就是byax=1.②注意：②这个方程形式对称、美观,其中a是直线与x轴交点的横坐标，称a为直线在x轴上的截距，简称横截距；b是直线与y轴交点的纵坐标，称b为直线在y轴上的截距，简称纵截距.因为方程②是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以方程②式叫做直线方程的截距式.⑤注意到截距的定义，易知a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.提出问题①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y的二元一次方程?②关于x,y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A、B不同时为零）是否都表示一条直线?③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化?④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A、B、C有什么几何意义?什么场合下建立了直线与关于x,y的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）叫做直线方程的一般式.注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来.③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.图1⑤列表说明如下：形式方程局限各常数的几何意义点斜式y-y1=k(x-x1)除x=x0外(x1,y1)是直线上一个定点,k是斜率斜截式y=kx+b除x=x0外k是斜率,b是y轴上的截距两点式121121xxxxyyyy除x=x0和y=y0外(x1,y1)、(x2,y2)是直线上两个定点截距式byax=1除x=x0、y=y0及y=kx外a是x轴上的非零截距,b是y轴上的非零截距一般式Ax+By+C=0无当B≠0时,-BA是斜率,-BC是y轴上的截距四、应用示例例1已知三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.变式训练1、求出下列直线的截距式方程：（1)横截距是3，纵截距是5；（2)横截距是10，纵截距是-7；（3)横截距是-4，纵截距是-8.例2已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程.变式训练1.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线?（2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交?（3）系数满足什么条件时,只与x轴相交?（4）系数满足什么条件时,是x轴?（5）设P(x0,y0)为直线Ax+By+C=0上一点,课堂小结掌握直线方程两点式和一般式的发现和推导过程，了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系，会将直线方程的特殊形式化成一般式。第四课时两条直线的位置关系一、三维目标1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.2.通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透二、重点难点教学重点：掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线是否平行、垂直.教学难点：是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件）.三、教学过程提出问题①平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？②两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？③“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？④两条直线的斜率相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？⑤l1∥l2时，k1与k2满足什么关系？⑥l1⊥l2时，k1与k2满足什么关系？活动:①教师引导得出平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.②数形结合容易得出结论.③注意到倾斜角是90°的直线没有斜率,即tan90°不存在.④注意到倾斜角是90°的直线没有斜率.⑤必要性：如果l1∥l2，如图1所示，它们的倾斜角相等,即α1=α2，tanα1=tanα2,即k1=k2.图1充分性：如果k1=k2,即tanα1=tanα2,∵0°≤α1＜180°，0°≤α2＜180°，∴α1=α2.于是l1∥l2.⑥学生讨论，采取类比方法得出两条直线垂直的充要条件.四、应用示例例1已知A（2，3），B（－4，0），P（－3，１），Q（－1，2），