直觉思维在中小学数学教学中的训练与培养

I直觉思维在中小学数学教学中的训练与培养摘要现代教学理论强调培养人才，提高人才素质的关键在于思维能力的培养，而直觉思维在培养学生创造力和创造意识方面起着独特作用.因此，在中学数学教学中不仅要重视直觉思维的作用，更要加强对学生直觉思维水平培养.本文主要讲直觉思维的含义，并结合我国教育的现状说明培养直觉思维的必要性，影响直觉思维的因素，着重研究在数学教育中培养学生的直觉思维的策略.对在数学教学过程中培养直觉能力会遇到的种种问题指出具体的努力方向:探索数学教学规律，努力提高学生的直觉思维和创造能力.关键词:直觉思维;数学教学;培养与训练AbstractThemodernteachingtheoriesemphasizetrainingtalents,toimprovethequalityoftalents,thekeyisthatthecultivationofthinkingability,andintuitionthinkingintrainingstudents'creativityandcreateconsciousnessplaysauniquerole.Therefore,inmiddleschoolmathematicsteachingshouldnotonlypayattentiontotheroleofintuitionthinking,moreshouldstrengthentheirintuitionthinkingleveltraining.Thispapermainlytalksaboutthemeaningofintuitionthinking,andcombineswiththepresentsituationoftheeducationtoshowthatthenecessityofcultivatingintuitionthinking,theinfluencefactorsofintuitionthinking,thispaperstudiesinmathematicseducation,trainingstudents'intuitionthinkingstrategies.Fortrainingintheteachingofmathematicsintuitionwillmeetallsortsofproblemsinthedirectionofspecificpointsout:exploringmathteachingrule,toimprovethestudents'intuitionthinkingandcreativeability.IIKeywords:intuitivethinking;mathematicsteaching;trainIII目录摘要..................................................................(I)Abstract...............................................................(I)1引言.................................................................(1)2数学直觉思维.........................................................(2)2.1数学直觉思维的涵义................................................(2)2.2数学直觉思维的特性................................................(2)2.3数学直觉思维在学习中的重要性......................................(4)3数学直觉思维的训练与培养.............................................(6)3.1影响数学直觉思维的因素............................................(6)3.2数学直觉思维的训练与培养策略.....................................(10)3.3数学直觉思维的训练教学模式.......................................(16)结束语................................................................(19)参考文献..............................................................(20)致谢..................................................................(21)11引言在应试教育中逻辑思维一直占据着垄断地位,而创造性思维却未受到应有的重视.这种局面使我们培养出了在国际奥林匹克竞赛中赢得金、银牌的诸多国际高材学生,却还没能培养出能够夺得代表世界最高科学水平的诺贝尔科学金奖的科学家.长期以来,数学因其内容的抽象性和逻辑的严谨性而往往掩盖了直觉思维的存在性及其重要作用.直觉思维是和逻辑思维相对应的概念.逻辑思维指按照逻辑的规律、方法和形式,有步骤有根据地从已知的知识和条件中推导出新结论的思维,对其过程有清晰的意识;而直觉思维是未经一步步分析,无清晰的步骤,对问题突然间的领悟、了解或给出答案的思维.直觉思维不受固定的逻辑规则的约束,对事物的理解和判断没有经过明显的中间推理过程,对其思维过程也无清晰的意识.正因为如此,数学中的发现创造很多都是直觉思维的结果.关于直觉思维的研究，古今中外，有许多著名的数学家，教育学家，科学家都有进行过详细的说明.波利亚指出:“类比是一个伟大的引路人.在提出猜想的过程中,类比往往能指引我们前进.许多科学上的创造和发现都产生于大胆的类比与联想之中.”华罗庚曾经说过:“数缺形时少直觉,形少数时难入微.数形结合百般好隔裂分家万事非.”孙名符等在谈到数学思想、方法的教育功能时认为:“数学思想、方法的教学能够增进学生抽象思维,促进形象思维、直觉思维的敏捷性,有利于训练学生思维的深刻性,增强学生数学思维的灵活性,发展学生数学思维的批判性.本文首先详细、准确定义了数学直觉思维的涵义，然后着重叙述了影响数学直觉思维训练与培养的因素，数学直觉思维训练与培养的策略，直觉思维的训练教学模式.数学思维的训练以数学的表象、直觉、想象为基本形式,以观察、比较、类比、联想、(不完全)归纳、猜想为主要方法,通过对形象材料的意识加工而得到领会的过程.这种思维训练,大大增强了数学课堂的直觉效果,揭示了学生思维过程的整体性、模糊性以及可以合情推理的倾向性.在数学教学中要引导学生由表象到联想,进行想象和猜想,培养学生的思维能力.22数学直觉思维2.1数学直觉思维的涵义庞加莱认为,直觉应该是逻辑的对立概念,数学直觉是对于抽象的数学对象的一种“非同寻常的洞察力”,完整地说也就是人脑对于数学对象（结构及其关系）的某种直接的领悟和洞察.布鲁纳在对数学直觉的研究中指出,数学直觉的概念是从两种不同的意义上使用的:一方面,说某人花了许多时间做一道题,突然间做出来了,但还需为答案提出形式证明,也就是我们平常所说的“灵感”或是“顿悟”;另一方面,说某人有良好的直觉能力,对提出的问题能迅速作出良好的猜想或是判断,或说明不同的解答方法中哪一种是有效的.两点之间直线距离最短,这是出于直觉的认识;而过直线外一点,只能作一条直线与已知直线平行,是出于直觉的自明;“尺规作图问题”则是直觉的判断.在数学教学过程中,我们常常可以看到学生直觉思维的火花.例如:有的学生学习了球的面积公式和锥体的体积公式后,能预感到球体的体积公式,有的初一学生学习了有理数会猜测到以后可能会学习到无理数,学习了整式,会猜想以后将会学分式,这种猜测和预感让他们对未来的学习内容平添了许多兴趣和期盼.又如,笔者对初一新入学的学生提出一个问题:例2.1.1大三角形的面积为1,其各边均被四等分,则其中最小三角形的面积为多少？图2.1.1解析绝大多数学生凭直觉回答出最小三角形的面积相等,所以最小三角形面积为161(如图2.1.1),而实际上的推理方法至少要学习了平行四边形的性质后才能完整地解决.有些学生面对复杂的图形和条件,可以短时间内做出准确的判断:应该从哪个角度推理证明,需要运用哪些知识等等,或是在杂乱无头绪的思维过程中突然往某个直觉的方向证明而最终获得成功.2.2数学直觉思维的特性3（1）直接性庞加莱指出:为直觉所指引的数学家不是以步步为营的方式前进的,而是在第一次出击时就迅速达到了“征服”的目的.因此,数学直觉思维在时间上表现为快速性、突然性,而在过程上表现为跳跃性或间断性,思维者不是按部就班推理,而是跳过若干中间步骤或略过一些细节,从整体上直接把握对象或问题的本质联系.例2.2.1对问题:已知cabcbabac,且0cba,则a、b、c满足什么关系？解析数学直觉思维能力强的学生,能够根据已知条件的特征,直接得出答案cba,而省去了中间的步骤:令kcabcbabac则由等比性质得21k,即bac2,cba2,cab2又因为0cba,所以cba这里需要特别强调的是,数学直觉虽然具有直接性和跳跃性,但它是在数学实践经验知识的基础上,形成发展起来的一种认识能力,是持久探索思考的结果,仍是理性的思维、理性的积淀,绝非盲目,这和我们平时见到的一些学生遇到完全没有感觉、无处着手的题目时随便猜一个答案有着本质的区别.（2）不连贯性数学直觉思维的认识往往与先前的努力无直接的逻辑联系,因而很难被看成是先前工作的直接结果.高斯曾经试图证明一个算术定理,但数年里一无所获.后来他自己写道:“我突然证出来了,但这简直不是我自己努力的结果,而是上帝的恩赐,如同一个闪电那样突然出现在我的脑海之中,疑团一下子解开了,连我自己也无法说清在先前已经了解的东西与使我获得成功的东西之间这样联系起来的.”（3）或然性数学直觉思维具有不同的层次,低层次的直觉思维只能揭示客观表象,容易产生谬误,高层次的思维则可能本质的内涵.直觉思维的目的在于迅速找到规律与内在联系,提出猜想,而不在于论证这个猜想,因此猜想可能被证实,也可能被推翻.例2.2.2下面是一个颇为典型的例子,80年代美国的一次全国中学生测试中,有一道题如下:一个正三棱锥和一个正四棱锥,它们的棱长都相等,问它们重叠一个侧面后,还有几个暴露面？解析出题者和绝大部分学生根据直觉认为,重叠后,2个暴露面消失了,剩下74个.但是三年级学生丹尼尔答案却是5个.他的分析是这样的:正三棱锥一个面B'A'P'与正四棱锥一个面PAB重叠后,C'B'P'与PBC恰好共面,C'A'P'与PAD也恰好共面,因此剩下5个暴露面.（如图2.2.2）经过有关数学家再度仔细考虑后,承认了丹尼尔的答案是正确的.图2.2.22.3数学直觉思维在学习中的重要性由于数学知识具有强于其他学科的严谨性、抽象性和系统性,因此,在我们的日常教学中,往往比较注重对学生进行逻辑思维的训练,容易忽视直觉思维的存在与作用,而实际上数学直觉思维的特点决定了它在数学学习领域中有其他思维不可替代的优点.（1）直觉思维是逻辑思维的重要补充布鲁纳曾说:“一个人往往通过直觉思维对一些问题获得解决,而这些问题如果借助分析思维无法解决,或者充其量也只能慢慢解决.这种解决,一旦用直觉方法获得,可能的话,就应当用分析方法进行验核.的确,直觉思维者甚至可以发明或发现分析家所不能发现的问题.”最具有说服力的例子,是在平面几何教学中,某些需要借助不常用辅助线解决的问题,对大多数学生来说难以顺利快速地作出所需的辅助线,甚至以失败或放弃告终,但少数直觉思维能力