第四讲_泰勒级数

AUTUMNAPPLICATION第1页共5页第四讲泰勒级数§8.4泰勒级数一、泰勒级数的定义前面讨论了幂级数在其收敛域内收敛于和函数，但实际应用中，我们常遇到许多相反的问题．对已知函数)(xf，是否能确定一个幂级数，在其收敛域内以)(xf为和函数．我们知道，幂级数被其系数唯一确定，现在问题是)(xf在什么范围内，满足什么条件，其展开式的系数能唯一确定，并收敛于)(xf．定理1设函数)(xf在区间),(aa内具有任意阶导数，且可展成幂级数nnnxaxf0)(，则幂级数的系数)0(!1)(nnfna，,2,1,0n，其中)0()0(,1!0)0(ff．定义1设)(xf在0x的某邻域内具有任意阶导数，则以)(!10)(xfnann为系数的幂级数200000000)())((!21))(()())((!1xxxfxxxfxfxxxfnnnnnnxxxfn))((!100)(称为)(xf在点0x处的泰勒级数．当00x时，幂级数20)()0(!21)0()0()0(!1xfxffxfnnnnnnxfn)0(!1)(称为)(xf在点00x处的麦克劳林级数．定理2（泰勒中值定理）设)(xf在含有点0x的区间),(ba内，有一阶直到1n阶的连续导数，则当x取区间),(ba内的任何值时，可以按0xx的方幂展开为AUTUMNAPPLICATION第2页共5页200000))((!21))(()()(xxxfxxxfxfxf)())((!100)(xRxxxfnnnn其中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR（在0x与x之间）上述公式称为函数)(xf的泰勒公式，余项)(xRn称为拉格朗日型余项．特别地，当00x时，泰勒公式为2)0(!21)0()0()(xfxffxf)()0(!1)(xRxfnnnn．其中1)1()!1()()(nnnxnfxR．或令10,x；则1)1()!1()()(nnnxnxfxR．上面的公式称为麦克劳林公式．二、函数的泰勒展开式这里主要介绍如何把已知函数)(xf展成它的泰勒(Taylor)级数，并求其收敛区间．（一）直接展开法所谓直接展开法是指利用定理，证明0)(limxRnn，进而写出展开式并求出其收敛域．例1试在0x处，展开xexf)(为泰勒级数．解xexf)(显然有各阶连续导数，且xnexf)()(，于是1)0(0)(efn．12)!1(!1!211nnxxnexnxxe，其中在0到x之间．)!1(lim)!1(lim)!1(lim)(lim0111nxenxexnexRnnnnnnnn，由于对指定的x来说，x，e是非零有界变量．用正项级数比值判别法可知，对AUTUMNAPPLICATION第3页共5页任意的Rx级数01)!1(nnnx都收敛，因而0)!1(lim1nxnn．由两边夹定理有.0)(limxRnn于是，对任何实数x，都有0.!nnxnxe例2把xxfcos)(展成麦克劳林级数．解2cos)20cos()0()(nnfn，)(0)!12()!12(cos)(012122nnxxnxRnnn于是)()!2()1(!6!4!21cos22642xRnxxxxxnnn其中在0到x之间．（二）间接展开法用已知函数的泰勒级数展开式，通过适当的运算，而将给定函数简捷灵便地展开．例3试展开221x为麦克劳林级数．解注意到11,)()(11110ttttnn；那么就有222)21(112121112121xxx)22(2)1()21()1(2120120xxxnnnnnnn．例4把xarctan在0x处展成泰勒级数．解因为)11()1()(1111)(arctan2022xxxxxnnn．AUTUMNAPPLICATION第4页共5页于是，逐项积分可得，)11(12)1()1(arctan120020xnxdttxnnnxnnn．例5将)3ln(x在0x处展开成泰勒级数．解因为nnnxxxx)3()1(313113131])3[ln(0)33(x．于是，逐项积分可得，)1(3)1()3()1(31)3ln(11000nxdttxnnxnnnnn)33(x例6展开xex)1(为x的幂级数．解因为xxnennx,!10；所以0010])!1(1!1[1!1!1)1(nnnnnnxxxxnnxnxnxeeex)(!110xxnnnn．例7求)1,0(aaax在0x处的泰勒展开式．解)(!)(ln0lnlnxxnaeeannnaxaxx．例8把4312xx展成)5(x的幂级数．解因为)4111(51)4)(1(14312xxxxxx])5(61)5(11[51)1141(51xxxx])65(1161)5(11[51xxAUTUMNAPPLICATION第5页共5页注意到011nntt)11(t．于是0026)5(301)5(51431nnnnnxxxxnnnx)5)(630151(0)46(x．小结1.级数展开的充要条件;2.函数的间接展开，函数的直接展开。