第四讲不等式

惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.第1页共10页个性化教学设计教案授课时间：2011年7月21日（8:00--10：15）备课时间：2011年7月19日年级：高二学科：数学课时：3学生姓名：课题名称第四讲不等式授课教师：曾先兵教学目标1．不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。2．一元二次不等式（1）会从实际情境中了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。3．二元一次不等式组与简单线性规划问题（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。（2）了解二地一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。（3）会从实际情境中抽出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。4．基本不等式：(,0)2ababab（1）了解基本不等式的证明过程。[来源:学科网]（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。教学过程一、不等式的性质在不等式的性质中，要注意下面性质的应用：1．同向不等式的可加性：ab，cd⇒a＋cb＋d.2．可乘性：ab，c0⇒acbc；ab，c0⇒acbc.3．两边为正的同向不等式可乘性：ab0，cd0⇒acbd.4．同乘方：ab0，n∈Q＋⇒anbn.5．倒数关系：ab，ab0⇒1a1b.6．绝对值不等式：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.二、一元二次不等式1．一元二次不等式的解集可以由一元二次方程的解结合二次函数的图象得来，不要死记硬背，二次函数的图象是联系“二次型”的纽带．2．与一元二次不等式有关的恒成立问题，通常转化为根的分布问题，求解时一定要借助二次函数的图象，一般考虑四个方面：开口方向、判别式的符号、对称轴的位置、区间端点函数值的符号．惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.第2页共10页3.求解一元二次方程不等式的基本思路：先化为一般形式20(0)axbxca，再求相应一元二次方程20(0)axbxca的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集。三、基本不等式1．两个公式：①∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．②若a，b均是正数，则a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b，当且仅当a＝b时等号成立．2．求最值：积定和有最小值，和定积有最大值，一定注意“一正、二定、三等”．四、线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示平面区域．2．线性规划的有关概念：线性规划问题——求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解——满足线性约束条件的解(x，y)可行域——所有可行解的集合最优解——使目标函数取得最大值或最小值的可行解3．求最优解的步骤：(1)设出变量，列出线性约束条件和目标函数；(2)作出可行域；(3)借助图形确定目标函数取得最优解的点，并求出最值；(4)从实际问题的角度审视最值，进而作答．1：不等式的求解问题例1：不等式22032xxx的解集是.例2:设a0，b0，给出以下四个不等式：①ba＋ab2；②b＋2a＋2ba；③a＋b1＋a＋ba1＋a＋b1＋b；④aabb≥abba.其中不恒成立的是________．(写出所有不恒成立的序号)例3：设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤x2y≤9，则x3y4的最大值是________．例4：不等式22xxxx的解集是()A．(0,2)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，0)∪(2，＋∞):惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.第3页共10页2：不等式恒成立问题求解不等式恒成立问题的常用思想方法：1.分离参数法：通过分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题求解。2.函数思想：转化为求含参数的最值问题求解。3.数形结合思想：转化为两熟悉函数图象间的上、下关系求解。例5：求使x＋y≤ax＋y(x0，y0)恒成立的a的最小值．例6：已知二次函数f(x)满足f(-1)=0,且8x≤f(x)≤4(x2+1)对于x∈R恒成立.(1)求f(1);(2)求f(x)的表达式；(3)设xfxxg12,定义域为D，现给出一个数学运算程序：123121...nnxgxxgxxgxx若xn∈D,则运算继续下去；若xnD,则运算停止.给出371x,请你写出满足上述条件的集合D={x1,x2,x3,…,xn}.3：线性规划问题1.线性规划问题一般有三种题型:一是求最值;二是求区域面积;三是最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围.2.解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意义,数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.第4页共10页例7:设x,y满足约束条件260,260,0,xyxyy则目标函数z=x+y的最大值是（）（A）3（B）4（C）6（D）8例8：已知实数x，y满足y≥1，y≤2x－1，x＋y≤m，如果目标函数z＝x－y最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数最大值的取值范围是()A．[1,2]B．[3,6]:C．[5,8]D．[7,10]例9：若不等式组x≥0，y≥0，y＋x≤s，y＋2x≤4表示的平面区域是一个三角形，则实数s的取值范围是()A．0s≤2或s≥4B．0s≤2C．s≥4D．s≤2或s≥4例10：设不等式组x≥1，x－2y＋3≥0，y≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称，对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B，|AB|的最小值等于()A.285B．4C.125D．2例11.若实数x、y、m满足xmym＞，则称x比y远离m.（1）若21x比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：33ab比22abab远离2abab；（3）已知函数()fx的定义域kD=x|x+kZxR24ππ｛≠，∈，∈｝.任取xD，()fx等于sinx和cosx中远离0的那个值.写出函数()fx的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.第5页共10页课堂练习高考真题探究1.设abc0，则2a2＋1ab＋1aa－b－10ac＋25c2的最小值是()A．2B．4C．25D．52.若0,0,2abab，则下列不等式对一切满足条件的,ab恒成立的是(写出所有正确命题的编号)．①1ab；②2ab；③222ab；④333ab；⑤112ab3.已知D是由不等式组2030xyxy，所确定的平面区域，则圆224xy在区域D内的弧长为（）A4B2C34D324.一个平面封闭区域上任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次为τ1，τ2，τ3，τ4，则下列关系中正确的为()(A)τ1τ4τ3(B)τ1τ3τ2(C)τ4τ2τ3(D)τ3τ4τ15.已知关于x的不等式11axx＜0的解集是1(,1)(,)2.则a.6.若不等式29(2)2xkx的解集为区间,ab,且2ba,则k．7.设a0,b0,称2abab为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段的长度是a,b的几何平均数，线段的长度是a,b的调和平均数。惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.第6页共10页8.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）。（Ⅰ）将y表示为x的函数：（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。课后作业课后记学员学习情况：课后小评：教师建议：提交时间教研组长审批教研主任审批课后作业：1.在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()(A)-5(B)1(C)2(D)32.在R上定义运算a*b=a(1-b),则满足(x-2)*(x+2)0的实数x的取值范围为()(A)（0，2）(B)（-2，1）(C)（-∞，-2）∪(1,+∞)(D)（-1，2）3.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为()(A)2000元(B)2200元(C)2400元(D)2800元惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.第7页共10页4.某企业生产甲、乙两种产品.已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是()(A)12万元(B)20万元(C)25万元(D)27万元5.若不等式［(1-a)n-a］lga0对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是()6.若关于x的不等式2||2xax至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（）A．5(,2)4B．7(,2)4C．9(,2)4D．7(,3)4二、填空题（共3小题，每小题6分，总分18分）7.定义在R上的单调递减函数)(xfy满足)1()1(xfxf，且对于任意Ryx,，不等式0)2()2(22yyfxxf恒成立，则当1x时，xy的取值范围为。8.不等式组0,10,3260xxyxyìïïïï--íïï--ïïî≥≥≤所表示的平面区域的面积等于.9.不等式1xx的解集是_____.三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分)10.若a∈［1,3］时,不等式ax2+(a-2)x-20恒成立，求实数x的取值范围.惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.第8页共10页11.某居民小区要建造一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的,面积为200平方米的十字形地带.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价是每平方米4200元，在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺上花岗岩地坪，造价是每平方米210元，再在四个空角上铺上草坪，造价是每平方米80元.(1)设总造价是S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，S最小？并求出最小值.12.已知函数2xcfxaxb为奇函数，13ff，且