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第四讲平行四边形一、填空题1、已知：如图，平行四边形中，平分交于，若，，则，.2、如图四边形ABCD为长方形，从A到C有两条路线：第一条是从A→E→C；第二条是从A→D→C；其中较短的是第条；3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动.当运动时间t＝秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形.4、对角线长分别为6和8的平行四边形的一边长a的取值范围是.5、已知A、C两点坐标分别为（）和（1，1），平行四边形ABCD的一个内角为30°，点B在x轴上，则点B的坐标为．6、下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是图形____________（请填图形下面的代号）。7、如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45o，且，则平行四边形ABCD的周长是．8、如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a、b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为_____．9、如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于点M、N.给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S△AMB=S△ABC．其中正确的结论是（只填序号）二、选择题10、下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（）A、AB=CD，AD∥BCB、AB=CD，AB∥CDC、AB∥CD，AD∥BCD、AB=CD，AD=BC11、如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是()A．6B．8C．9D．1012、则在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG、BG，∠BDG的大小是度（A）30°（B）45°（C）60°（D）75°13、下列说法中错误的是…………………………………………………………（）A．平行四边形的对角线互相平分B．有两对邻角互补的四边形为平行四边形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形14、顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形15、如图：海滨公园内有甲、乙两块绿地，现准备在它们各自的周围安装上防护栏，则A．这两块绿地防护栏长度相同B．甲块绿地所需的防护栏长C．乙块绿地所需的防护栏长D．无法确定16、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，F，E是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）A．OE=OFB．DE=BFC．∠ADE=∠CBFD．∠ABE=∠CDF17、如图，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是()18、如图，平行四边形ABCD中，E是BC中点，且AE=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_________．19、如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为()(A)4cm(B)6cm(C)8cm(D)10cm20、如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：四边形GEHF是平行四边形．四、作图题21、蓝天希望学校正准备建一个多媒体教室，计划做长120cm，宽30cm的长条形桌面。现只有长80cm，宽45cm的木板，请你为该校设计不同的拼接方案，使拼出来的桌面符合要求.（只要求画出裁剪、拼接图形，并标上尺寸即可）22、如图，村子里有一四边形的池塘，在它的四个角的顶点A、B、C、D处均种了一棵大树，村子准备开挖池塘建渔塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形，若不能，请说明理由。五、简答题23、平行四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC、BD相交于点O，则：①△BCO与△ABO的周长之差为；②其对角线BD的长的取值范围是。24、如图，已知平行四边形，是的角平分线，交于点.(1)试说明:.(2)若，，求的度数．25、阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”。如图（1）所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”。显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个。（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；（2）如图（2），若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图（2）中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；（3）若△ABC是锐角三角形，且BCACAB，在图（3）中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最大的矩形。（标上字母）26、已知：如图，在中，是边的中点，是的中点，连接并延长到点，使EF=BE，连结AF、．(1)试说明ADCF是平行四边形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形是矩形，并说明你的理由．27、如下图，点F是△ABC的AC边中点，过点A作BC的平行线，与∠ABC的平分线相交于点D，E为BD的中点。试探究：（1）AE与BD的位置关系，并给予证明；（2）EF、AB、BC之间的数量关系，并给予证明。28、如图①，E、F、M、N是正方形ABCD四条边AB、BC、CD、DA上可以移动的四个点，每组对边上的两个点，可以连接成一条线段．(1)如图②，如果EF//BC，MN//CD，那么EFMN(位置)，EFMN(火小)；(2)如图③，如果E与A，F与C，M与B，N与D重合，那么EFMN(位置)；EFMN(大小)(3)如图④，当点E、F、M、N不再处于正方形ABCD四条边AB、BC、CD、DA特殊的位置时，猜想线段EF、MN满足什么位置关系时，才会有EF=MN，画出相应的图形，并证明你的猜想．29、如图，ABCD为平行四边形，AD=a，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点．（1）求证：DF=FE；（2）若AC=2CF，，AC⊥DC，求BE的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积．30、点O是△ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，如果DEFG能构成四边形。（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形。（2）当点O移动到△ABC外时，（1）的结论是否成立？画出图形并说明理由。（3）若四边形DEFG为矩形，点O所在位置应满足什么条件？试说明理由。六、计算题31、如图，在△ABC中∠BCA＝90°，D．E分别是AC．AB边的中点，F在BC的延长线上。∠CDF＝∠A。求证：四边形DECF是平行四边形。32、如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且∠DAF=∠BCE．(1)求证：△DAF≌△BCE；(2)若∠ABC=，∠ECB=，∠ABC的平分线BN交AF于M，交AD于N，求∠AMN的度数33、如下图，点P是平行四边形ABCD内一点，，，求三角形PAC的面积。34、如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使，点G、E、F分别为边AB、BC、AC的中点．求证：DF=BE。七、综合题35、如图1，在四边形ABCD中，已知AB=BC＝CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥BC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形。（1）当点P与点B重合时，图1变为图2，若∠ABD＝90°，求证：△ABR≌△CRD；（2）对于图1，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？36、如图1，在平面直角坐标中，直角梯形OABC的顶点A的坐标为（4,0），直线经过顶点B，与y轴交于顶点C，AB∥OC。（1）求顶点B的坐标；（2）如图2，直线l经过点C，与直线AB交于点M，点O´为点O关于直线l的对称点，连接CO´，并延长交直线AB于第一象限的点D，当CD＝5时，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，点P在直线l上运动，点Q在直线OD上运动，以P、Q、B、C为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能,求出点P的坐标；若不能，说明理由。一、填空题1、5，32、—3、2或4、1a7；5、6、②7、88、9、①②③二、选择题10、A11、B12、C13、B14、A15、A16、B17、B18、7219、D20、证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AB∥CD∴∠GBE＝∠HDF又∵AG＝CH∴BG＝DH又∵BE＝DF∴△GBE≌△HDF∴GE＝HF，∠GEB＝∠HFD∴∠GEF＝∠HFE∴GE∥HF∴四边形GEHF是平行四边形．四、作图题21、如图:22、能五、简答题23、①2②2﹤BD＜1424、(1)略(2)55°25、26、(1)证AEF≌△DEB(2′)∴AF∥BDAF＝BD∵BD＝CD∴AF＝DCAF∥DC∴四边形ADCF是平行四方形(2)AB=AC或∠ABC=∠ACB(不唯一)(5′)理由略(8′)27、（1）AE⊥BD证明：∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC则∠D=∠ABD，∴AB=AD，即△ABD是等腰三角形又∵E是BD的中点，∴AE⊥BD（三线合一）（2）EF=（BC－AB）证明：延长AE交BC于点G（或延长DF）由（1）知∠D=∠EBG，∵E是BD中点，∴BE=DE又∵∠AED=∠GEB，∴△AED≌△GEB（ASA）∴AD=GB，AE=GE又∵F为AC中点，∴EF是AACG的中位线则EF=GC∵GC=BC－GB=BC－AD，由（1）知AD=AB∴GC=BC－AB∴EF=（BC－AB）28、解：(1)EF⊥MN，EF=MN；(2)EF⊥MN，EF=MN(3)猜想：当EF⊥MN时，才会有EF=MN，证明：连接EF，作MN⊥EF，过点N作NG⊥BC，过点F作FH⊥AB，又∵EF⊥MN在Rt△MNG和Rt△EFH中，∠MNG=∠EFH(等角的余角相等)∠MGN=∠EHF=90°，FH=NG∴Rt△MNG≌Rt△EFH∴EF=MN29、(1)证明：延长DC交BE于点M，∵BE∥AC，AB∥DC,∴四边形ABMC是平行四边形，∴CM=AB=DC,C为DM的中点，BE∥AC，DF=FE;（2）解：由（2）得CF是△DME的中位线，故ME=2CF,又∵AC=2CF，四边形ABMC是平行四边形，∴BE=2BM=2ME=2AC,又∵AC⊥DC,∴在Rt△ADC中利用勾股定理得AC=,∴=.(3)可将四边形ABED的面积分为两部分，梯形ABMD和三角形DME,在Rt△ADC中利用勾股定理得DC=,由CF是△DME的中位线得CM=DC=,四边形ABMC是平行四边形得AM=MC=,BM=AC=,∴梯形ABMD面积为：;由AC⊥DC和BE∥AC可证得三角形DME是直角三角形，其面积为：,∴四边形ABED的面积为+30、（1）利用中位线证明DG∥BC，DG=BC，EF∥BC，EF=BC，∴DG∥EF，DG=EF，∴DEFG是平行四边形。（2）成立；画图略；说明理由略。（3）0应在过A点且垂直于BC的直线上（A点除外），利用AO⊥BC的条件证明一个直角，结合DEFG是平行四边形，证得是矩形。六、计算题31、证明：∵D．E分别为AC．