第四讲矩阵的运算与逆矩阵

§2.2矩阵的运算1.矩阵的加法定义：设有两个nm矩阵)(),(ijijbBaA,那么矩阵A与B的和记作A+B,规定为nmijijbaBA)(设矩阵)(),(ijijaAaA记,A称为矩阵A的负矩阵.显然有0)(AA.规定矩阵的减法为)(BABA.2.数与矩阵相乘定义:数与矩阵)(ijaA的乘积记作A，规定为nmijaA)(由数与矩阵A的每一个元素相乘。数乘矩阵满足下列运算规律（设BA,为同型矩阵，,为数）：)(i)()(AA)(iiAAA)()(iiiBABA)(3.矩阵与矩阵相乘定义:设)(ijaA是一个sm矩阵,)(ijbB是一个ns矩那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个nm矩阵)(ijcC,其中),,2,1;,,2,1(,12211njmibabababackjskiksjisjijiij并把此乘积记作ABC，两矩阵相乘，要求左边距阵的列等于右边矩阵的行，乘积的矩阵的行与左边的行相同，列与右边的列相同。例3：求矩阵043211,012301BA的乘积BAAB及.解1204638311,50113BAAB从本例可以看出AB不一定等于BA,即矩阵乘法不满足交换律注:若有两个矩阵BA、满足0AB,不能得出00BA或的结论,即矩阵乘法不满足消去律.矩阵的乘法满足下列结合律与分配律)(i)()(BCACAB)(ii为数）其中(),()()(BABAAB)(iiiCABAACBACABCBA)(,)(对单位矩阵E,易知nmnnmnmnmmAEAAAE,可简记为AAEEA4.矩阵的转置的定义：把矩阵A的行列交换得到一个新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作TA矩阵的转置运算满足下述运算规律(假设运算都是可行的))(iAATT)()(iiTTTBABA)()(iiiTTAA)()(ivTTTABAB)(5.对称矩阵与反对称矩阵的定义：设A是n阶方阵,如果满足AAT,即),,2,1,(,njiaajiij则称A是对称矩阵.对称矩阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相等.如果满足AAT,即0)(iijiijajiaa则称A是反对称矩阵.反对称矩阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相反6.方阵的行列式：由n阶矩阵A的元素构成的行列式（各元素位置不变），称为矩阵A的行列式，记作A或Adet设A，B为n阶方阵，为数，则有下列等式成立：BAABAAAAnT;;例4：设A是n阶反对称矩阵，B是n阶对称矩阵，证明：BAAB是n阶反对称矩阵证明：)()()()()()(,BAABBAABBAABBAABBAABBBAATTTTTTTTT所以结论成立例5：设A是n阶方阵，满足EAAT,且1A，求EA解：由于AEAEAEAAEAAAAEATTTT)(所以02EA，即EA=0§2.3矩阵的逆7.逆矩阵：对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使EBAAB，则称矩阵A是可逆的，并把B称为A的逆矩阵。A的逆矩阵记为1A注意：若A可逆，则A的逆唯一设CB,都是A的逆矩阵，则一定有CECCBAACBBEB)()(8.伴随矩阵:设)(ijaA是n阶方阵,ijA为行列式A的各元素ija的代数余子式.记nnnnnnAAAAAAAAAA212222111211*,称*A为A的伴随矩阵.有行列式的按行(列)展开定理,我们可以证明EAAAAA**9.定理:若矩阵A是n阶方阵，则A可逆的充要条件是0A，且AAA*1,其中*A是A的伴随矩阵。证：必要性：A可逆，即有1A，使EAA1，故11EAA所以0A充分性：设0A，由伴随矩阵的性质，有EAAAAA**因0A，则EAAAAAA**,这说明A是可逆的，且AAA*1证由例1知：EAAAAA**因0A，故有EAAAAAA**11所以有逆矩阵的定义，既有*11AAA10.推论：若EAB（或EBA），则1AB证1EBA，故0A，因而1A存在，且1111)()(AEAABABAAEBB11.方程的逆矩阵满足下述运算规律①若A可逆，则1A也可逆，且AA11)(②若A可逆，数0，则A可逆，且111)(AA③若BA.为同阶矩阵且均可逆，则BA.也可逆，且111)(ABAB④若A可逆，则1A也可逆，且11AA⑤若A可逆，则TA也可逆，且TTAA)()(11⑥设),,(21ndiagA是对角矩阵,则A可逆的充要条件是)2,1(0nii，且),,(112111ndiagA.例2求方程343122321.A的逆矩阵解02321131211AAAA，知1A存在2.11A6.21A4.31A3.12A6.22A532A2.13A2.23A2.33A于是.A的伴随矩阵为222563462.*A,所以111253232311.*1AAA注：利用伴随矩阵法求逆矩阵的主要步骤是1.求矩阵.A的行列式A，判断.A是否可逆；2.若1.A存在，求.A的伴随矩阵*.A；3.利用公式*11AAA，求1.A小结与提问:小结：本讲介绍了方程的行列式、逆矩阵及其求法提问：求逆矩阵应注意什么？课外作业:P628.9.13.15.