第四讲数列的应用

第四讲数列的应用一、知识扫描：1．数列求通项与和（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=11sssnn12nn。（2）求通项常用方法①作新数列法。作等差数列与等比数列；②叠加法。③叠乘法④构造法⑤归纳、猜想法。（3）数列前n项和①重要公式：1+2+…+n=21n(n+1)；12+22+…+n2=61n(n+1)(2n+1)；②裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法，适用于1nnaac其中{na}是各项不为0的等差数列，c为常数；如：)1(1nn=n1－11n③错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。nnncba,其中nb是等差数列，nc是等比数列，记nnnnncbcbcbcbS112211，则1211nnnnnqSbcbcbc，适用于nnba其中{na}是等差数列，nb是各项不为0的等比数列。④并项求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。⑤通项分解法：nnncba数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。2．递归数列数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k－1,an+k－2,…,an)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1，及a1=1，确定的数列}12{n即为递归数列。3.数列应用题二、基础练习：1、已知数列na满足112a，111nnaa（n≥2），则6a.2、已知数列{na}的前n项和29nSnn，则其通项na；若它的第k项满足58ka，则k．3、已知}{na的首项11a，naann21（*Nn）则}{na通项公式为。4、已知}{na中，nnanna21且21a，则}{na通项公式为。5、已知数列{na}中，1a=2，123nnaa，则}{na通项公式为。6、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖_________________块.7、1111223(1)nSnn为。8、数列1，3＋13，32＋132，……，3n＋13n的和为。。9、已知2(),1xfxx则111()()()(1)(2)(2008)____________.200820072ffffff10、计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低31，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可降为（）A．2400元B．900元C．300元D．3600元三、典例解析例1、求)(,32114321132112111*Nnn。例2、设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和。例3、“数列na的前n项和为nS，11a，12nnaS*()nN．（Ⅰ）求数列na的通项na；（Ⅱ）求数列nna的前n项和nT．例4、已知数列na前n项和2nSnn（1）求数列na的通项公式；（2）令11nnnbaa，求数列{nb}的前n项和nT.例5：已知数列))}1({log*2Nnan为等差数列，且.9,331aa（Ⅰ）求数列}{na的通项公式；（Ⅱ）证明.111112312nnaaaaaa例6、某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取665.575.1,786.133.1,629.105.1101010）四、家庭作业：1、已知数列na的前n项和为nS,且23nSnn,则数列的通项公式na.2、已知数列na满足1nnaan，1a=1，则na=3、已知数列na的前n项和为nS,11a,12nnSa,则nS（）A．12nB．132nC．123nD．112n4、已知数列na满足10a，1331nnnaaa（*nN），则20a（）.A．0B.－3C.3D.325、计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如(1101)2表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是32101212021213，那么将二进制数(11111111)2转换成十进制的形式是（）.A.922B.821C.822D.721家长签字：老师评价：