第数字信号处理讲义--3章连续时间信号的采样

第3章连续时间信号的采样[教学目的]1．理解周期采样的原理，掌握采样的频域表示法，奈奎斯特采样定理；2．掌握样本重构带限信号的原理与条件；3．掌握连续信号转换成离散信号的方法，理想低通滤波器特点，冲激响应的概念；4．掌握离散时间信号的连续时间处理方法；5．了解量化误差产生的原因和影响。[教学重点与难点]重点：1．采样的频域表示法，奈奎斯特采样定理；2．样本重构带限信号；难点：1．采样的频域表示法；2．样本重构带限信号；3．1周期采样在某些合理条件限制下，一个连续时间信号能用其采样序列来完全给予表示，连续时间信号的处理往往是通过对其采样得到的离散时间序列的处理来完成的。本节将详细讨论采样过程，包括信号采样后，信号的频谱将发生怎样的变换，信号内容会不会丢失，以及由离散信号恢复成连续信号应该具备哪些条件等。采样的这些性质对离散信号和系统的分析都是十分重要的。要了解这些性质，让我们首先从采样过程的分析开始。采样器可以看成是一个电子开关，它的工作原理可由图3-1（a）来说明。设开关每隔T秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。如果开关每次闭合的时间为τ秒，那么采样器的输出将是一串周期为T，宽度为τ的脉冲。而脉冲的幅度却是重复着在这段τ时间内信号的幅度。如果以xa(t)代表输入的连续信号，如图3-1（b）所示，以xp(t)表示采样输出信号，它的结构如图3-1（d）所示。显然，这个过程可以把它看作是一个脉冲调幅过程。被调制的脉冲载波是一串周期为T、宽度为τ的矩形脉冲信号，如图3-1（c）所示，并以p(t)表示，而调制信号就是输入的连续信号。因而有)()()(tptxtxap一般开关闭合时间都是很短的，而且τ越小，采样输出脉冲的幅度就越准确地反映输入信号在离散时间点上的瞬时值。当τT时，采样脉冲就接近于δ函数性质。图3-1连续时间信号的采样过程3．2采样的频域表示1．理想采样理想采样就是假设采样开关闭合时间无限短，即τ→0的极限情况。此时，采样脉冲序列p(t)变成冲激函数序列s(t)，如图3-1(e)所示。这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，面积为1。采样后，输出理想采样信号的面积（即积分幅度）则准确地等于输入信号xa(t)在采样瞬间的幅度。理想采样过程如图3-1（f）所示。冲激函数序列s(t)为3-1式以表示理想采样的输出，以后我们都以下标a表示连续信号（或称模拟信号），如xa(t)；而以它的顶部符号（∧）表示它的理想采样，如。这样我们就可将理想采样表示为xa(t)ot(a)(b)xa(t))(ˆatxTp(t)tttt(c)(e)(d)(f)s(t)xp(t))(ˆatxooooT1T)()(nTttsn)(ˆtxa)(ˆtxa)()()(ˆtstxtxaa3-2式代入3-1式得：3-3式由于δ(t-nT)只在t=nT时不为零，故3-4式2理想采样信号的频谱我们首先看看通过理想采样后信号频谱发生了什么变化。由于在连续时间信号与系统中已学过，式（1-17）表示时域相乘，则频域（傅里叶变换域）为卷积运算。所以由式（1-17）可知，若各个信号的傅里叶变换分别表示为:则应满足3-5式现在来求S(jΩ)=F［s(t)］。由于s(t)是以采样频率重复的冲激脉冲，因此是一个周期函数，可表示为傅里叶级数，即此级数的基频为采样频率，即:一般称fs为频率，单位为赫兹(Hz)，Ωs为角频率，单位为弧度/秒;习惯上都统称为“频率”。它们的区别由符号f及Ω来识别。根据傅氏级数的知识，系数ak可以通过以下运算求得以上结果的得出是考虑到在|t|≤T/2的积分区间内，只有一个冲激脉冲δ(t)，其他冲激δ(t-nT)，n≠0都在积分区间之外，且利用了以下关系:因而)()()(ˆnTttxtxana)()()(ˆnTtnTxtxanadtetxjXdtetsjSdtetxjXtjaatjtjaa)(ˆ)(ˆ)()()()()()(21)(ˆjSjXjXaaktjkkseats)(Tfs1ssfT22TdtetTdtenTtTdtetsTaTTtjkntjkTTtjkTTksss1)(1)(1)(12/2/2/2/2/2/dtttff)()()0(由此得出由于所以3-6式将式（3-6）代入式（3-5）可得根据冲激函数的性质，可得3-7式或者由此看出，一个连续时间信号经过理想采样后，其频谱将沿着频率轴以采样频率Ωs=2π/T为间隔而重复，这就是说频谱产生了周期性延拓，如图3-2所示。也就是说，理想采样信号的频谱，是Xa(jΩ)的周期延拓函数，其周期为Ωs，而频谱的幅度则受1/T加权，由于T是常数，所以除了一个常数因子外，每一个延拓的谱分量都和原频谱分量相同。因此只要各延拓分量与原频谱分量不发生频率混叠，则有可能恢复出原信号。也就是说，如果xa(t)是限带信号，其频谱如图3-2（a）所示，且最高频谱分量Ωh不超过Ωs/2，即那么原信号的频谱和各次延拓分量的谱彼此不重叠，如图3-2（c）所示。这时采用一个截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器，就可得到不失真的原信号频谱。也就是说，可以不失真地还原出原来的连续信号。ktjkseTts1)(ktjkktjksseFTeTFtsFjS11)]([)()(2][sjkkeFskssskkkTjS)()(2)(dkjXTdkjXTjXkTjXsakksakasa)()(1)()(1)()(221)(ˆksaajkjXTjX)(1)(ˆkaaTjkjXTjX21)(ˆ2||02||)()(ssaajXjX图3-2时域采样后，频谱的周期延拓（a）原始限带信号频谱;（b）采样函数频谱;（c）已采样信号频谱（Ωs2Ωh）;（d）已采样信号频谱（Ωs2Ωh）如果信号的最高频谱Ωh超过Ωs/2，则各周期延拓分量产生频谱的交叠，称为混叠现象，如图1-10（d）所示。由于Xa(j)一般是复数，所以混叠也是复数相加。为了简明起见，在图1-10中我们将Xa(jΩ)作为标量来处理。我们将采样频率之半（Ωs/2）称为折叠频率，即它如同一面镜子，当信号频谱超过它时，就会被折叠回来，造成频谱的混叠。图3-3说明了在简单余弦信号情况下频谱混叠的情况。在图3-3（a）中，给出该余弦信号的傅里叶变换Xa(jΩ)。图（b）是在Ω0Ωs/2时，的傅里叶变换。图（c）是在Ω0Ωs/2时，的傅里叶变换。（d）和（e）则分别对应于Ω0Ωs/2=π/T和Ω0π/T时低通滤波器输出的傅里叶变换，在没有混叠时（(b)和(d)），恢复出的输出ya(t)为在有混叠时，则是这就是说，作为采样和恢复的结果，高频信号cosΩ0t已经被当作和Xa(j)o－ss2sS(j)－sos2s－sos2s)j(ˆaX)j(ˆaX(a)(b)(c)(d)－sos2s………………2T2TTs2ttxa0cos)()(ˆtxa)(ˆtxattya0cos)(ttysa)cos()(0Xa(j)ππ－0o0)j(ˆaX－0o0－s2ss)j(ˆaX－0o0－s2ss(c)(b)(a)2s0＜T2s0＞TTT低频信号cos(Ωs-Ω0)t是一样的东西被冒名顶替了。这个讨论就是奈奎斯特采样定理的基础。图3-3一个余弦信号采样中的混叠效果由此得出结论：要想采样后能够不失真地还原出原信号，则采样频率必须大于两倍信号谱的最高频率（Ωs2Ωh），这就是奈奎斯特采样定理。即fs2fh频率Ωh一般称为奈奎斯特频率，而频率2Ωh称为奈奎斯特率。采样频率必须大于奈奎斯特率。在实际工作中，为了避免频谱混淆现象发生，采样频率总是选得比奈奎斯特频率更大些，例如选到(3～4)Ωh。同时为了避免高于折叠频率的杂散频谱进入采样器造成频谱混淆，一般在采样器前加入一个保护性的前置低通滤波器，称为防混叠滤波器，其截止频率为Ωs/2，以便滤除掉高于Ωs/2的频率分量。3．3由样本重构带限信号1原理：如果理想采样满足奈奎斯特定理，即模拟信号谱的最高频率小于折叠频率－00Ya(j)Ya(j)－(s－0)ππππ混叠无混叠(e)(d)0＞T0＜Toos－02||02||)()(ssaajXjX则采样后不会产生频谱混叠，由式（3-7）知故将通过一个理想低通滤波器，这个理想低通滤波器应该只让基带频谱通过，因而其带宽应该等于折叠频率，它的特性如图3-4所示。图3-4采样的恢复采样信号通过这个滤波器后，就可滤出原模拟信号的频谱因此，在输出端可以得到原模拟信号理想低通滤波器虽不可实现，但是在一定精度范围内，可用一个可实现的滤波器来逼近它。2．由采样信号序列重构带限信号理想低通滤波器的冲激响应为由与h(t)的卷积积分，即得理想低通滤波器的输出为2||)(1)(ˆsaajXTjX)(ˆjXaH(j)h(t)H(j)Ts/2)(ˆatxy(t)＝xa(t)o2||02||)(ssTjH)()()(ˆ)(jXjHjXjYaaa)()(txtyaaTtTttdeTdejHthsstjtjss/)/sin(2/)2/sin(2)(21)(2/2/)(ˆtxa)()()()()()()()()()(ˆ)(nTthnTxdnTthxdthnTtxdthxtyanannaaa这里h(t-nT)称为内插函数：它的波形如图3-5所示，其特点为：在采样点nT上，函数值为1;其余采样点上，函数值都为零。图3-5内插函数由于ya(t)=xa(t)，因此以上卷积结果也可以表示为3-8式式（3-8）称为采样内插公式，即信号的采样值xa(nT)经此公式而得到连续信号xa(t)。也就是说，xa(t)等于各xa(nT)乘上对应的内插函数的总和。在每一采样点上，只有该点所对应的内插函数不为零，这使得各采样点上信号值不变，而采样点之间的信号则由加权内插函数波形的延伸叠加而成，如图3-6所示。这个公式说明了，只要采样频率高于两倍信号最高频率，则整个连续信号就可以完全用它的采样值来代表，而不会丢掉任何信息。这就是奈奎斯特采样定理的意义。由上面讨论可看出采样内插公式只限于使用到限带（频带有限）信号上。图3-6采样内插恢复3.4连续时间信号的离散时间处理随着信号传输和处理手段的数字化发展，越来越有必要将连续信号转化为离散信号处理。TnTtTnTtnTth/)(]/)(sin[)((n－3)T(n－2)T(n－1)TnT(n＋1)T(n＋2)T(n＋3)TtTnTtTnTt/)(π]/)(πsin[TnTtTnTtnTxtxnaa/)(]/)(sin[)()(xa(t)oT2T3T4Tt)(txc][nxd][nyd)(tyc连续时间到离散时间转换连续时间到离散时间转换离散时间系统)(][nTxnxcd)(][nTynycd)(txc)(][nTxnxcd)(][nTynycd)(tycC/D转换D/C转换离散时间系统一、C/D转换C/D转换时域分析频域分析二、D/C转换D/C转换D/C变换整个是C/D变换的逆过程三、连续时间信号的离散