等差数列--高三一轮导学案

1等差数列导学案【考纲要求】1、理解等差数列的概念.2、掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3、能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.【基础知识】1、等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数d，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d就叫做这个数列的公差。即1(2,)nnaadnnN2、等差中项若,,aAb成等差数列，那么A叫做,ab的等差中项。两个实数,ab的等差中项只有一个，就是这两个数的算术平均数2ab。3、等差数列的性质①等差数列的通项公式*1(1)()()nmaandanmdnN，nmaadnm。1()nadnad当0d时，它是一个一次函数。②等差数列的前n项和公式1()2nnnaas1(1)2nnnad.2211(1)()222nnnddSnadnanAnBn，当0d时，它是一个二次函数，由于其常数项为零，所以其图像过原点。③等差数列na中，如果mnpq,则mnpqaaaa,特殊地，2mpq时，则2mpqaaa，ma是pqaa、的等差中项。④等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即232,,nnnnnSSSSS成等差数列。4、等差数列的性质的判断和证明方法一：定义的方法，1(2,)nnaadnnNna是等差数列方法二：中项的方法，11(2,)2nnnaaannN{na}是等差数列5、等差数列有5个基本量，1,,,,nnadnaS，求解它们，多利用方程组的思想，知三求二。注意要弄准它们的值。26、三个数成等差数列，一般设为,,adaad，四个数成等差数列，一般设为3,,,3adadadad，【例题精讲】例1nS设是等差数列na的前n项和，已知434131SS与的等比中项为551S，434131SS与的等差中项为1，求数列na的通项．例2设f(x)＝axx＋a(a≠0)，令a1＝1，an＋1＝f(an)，又bn＝an·an＋1，n∈N*.(1)证明数列1an是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)求数列{bn}的前n项和．5.2等差数列强化训练3【基础精练】1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，则数列{an}中也为常数的项是()A．S7B．S8C．S13D．S152．等差数列{an}中，已知a1＝13，a2＋a5＝4，an＝33，则n为()A．48B．49C．50D．513．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为()A．2B．3C．4D．54．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S5＝3(a2＋a8)，则a5a3的值为()A.16B.13C.35D.565．已知数列{an}为等差数列，若a11a10－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn0的n的最大值为()A．11B．19C．20D．217．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.8．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且AnBn＝7n＋45n＋3，则a6b6＝________.9．设f(x)＝12x＋2，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．10．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝Snn2，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是________．11．已知：f(x)＝－4＋1x2，数列{an}的前n项和为Sn，点Pnan，－1an＋1在曲线y＝f(x)上(n∈N*)，且a1＝1，an0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Tn，且满足Tn＋1a2n＝Tna2n＋1＋16n2－8n－3，问：当b1为何值时，数列{bn}是等差数列．412．数列{an}满足an＝3an－1＋3n－1(n∈N*，n≥2)，已知a3＝95.(1)求a1，a2；(2)是否存在一个实数t，使得bn＝13n(an＋t)(n∈N*)，且{bn}为等差数列？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由．【拓展提高】1.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝an2n－1.证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.2.已知数列{an}中，a1＝5，且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列an＋λ2n为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．3．已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，且不等式log2(ax2－3x＋6)＞2的解集为{x|x＜1或x＞b}．(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn；(2)求数列1an·an＋1的前n项和Tn.5【基础精练参考答案】1.C【解析】设a2＋a4＋a15＝p(常数)，∴3a1＋18d＝p，解a7＝13p.∴S13＝13×(a1＋a13)2＝13a7＝133p.2.C【解析】∵a2＋a5＝2a1＋5d＝4，则由a1＝13得d＝23，令an＝33＝13＋(n－1)×23，可解得n＝50.故选C.3.C【解析】a5＝S5－S4≤5，S5＝a1＋a2＋…＋a5＝5a3≤15，a3≤3，则a4＝a3＋a52≤4，a4的最大值为4.故选C.4.D【解析】∵{an}是等差数列，∴a5a3＝a2＋a82a1＋a52＝S56(a1＋a5)×52×5＝56S5S5＝56，故选D.5.B【解析】∵a11a10－1，且Sn有最大值，∴a100，a110，且a10＋a110，∴S19＝19(a1＋a19)2＝19·a100，[来源:学§科§网]S20＝20(a1＋a20)2＝10(a10＋a11)0.所以使得Sn0的n的最大值为19，故选B.6.B【解析】依题意得，数列a2，a4，a6，…，a2k，…，是以a2＝1为首项，1为公差的等差数列，因此a2010＝a2×1005＝1＋(1005－1)×1＝1005.数列a1，a3，a5，a7，…，a2k－1，…，即是以1，－1,2，－2，…，的规律呈现，且a2009是该数列的第1005项，且1005＝2×502＋1，因此a2009＝503，a2011＝－503，a2009＋a2010＋a2011＝1005，选B.7.-72【解析】S9＝9a5＝－9，∴a5＝－1，S16＝8(a5＋a12)＝－72.8.617解析：本题考查等差数列的基础知识，由于这是选择题可直接由结论anbn＝A2n－1B2n－1求得。[来源:学,科,网Z,X,X,K]69.32【解析】∵f(x)＝12x＋2，∴f(1－x)＝121－x＋2＝2x2＋2·2x＝12·2x2＋2x，∴f(x)＋f(1－x)＝12x＋2＋12·2x2＋2x＝1＋12·2x2＋2x＝22.设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(6)，则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(－5)，∴2S＝[f(6)＋f(－5)]＋[f(5)＋f(－4)]＋…＋[f(－5)＋f(6)]＝62，∴S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝32.10.2【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a4－a2＝8，∴d＝4.又∵a3＋a5＝26，即2a1＋6d＝26，∴a1＝1.∴Sn＝n＋n(n－1)2×4＝2n2－n，则Tn＝Snn2＝2－1n2.∵对一切正整数Tn≤M恒成立，∴M≥2.∴M的最小值为2.11.【解析】(1)由y＝－4＋1x2，点Pnan，－1an＋1在曲线y＝f(x)上，∴－1an＋1＝f(an)＝－4＋1a2n，并且an0，∴1an＋1＝4＋1a2n，∴1a2n＋1－1a2n＝4(n∈N*)．数列{1a2n}是等差数列，首项1a21＝1，公差d为4，7∴1a2n＝1＋4(n－1)＝4n－3，a2n＝14n－3.∵an0，∴an＝14n－3(n∈N*)．[来源:学&科&网Z&X&X&K](2)由an＝14n－3，Tn＋1a2n＝Tna2n＋1＋16n2－8n－3得(4n－3)Tn＋1＝(4n＋1)Tn＋(4n－3)(4n＋1)，Tn＋14n＋1＝Tn4n－3＋1.令cn＝Tn4n－3，如果c1＝1，此时b1＝T1＝1，∴cn＝1＋(n－1)×1＝n，n∈N*，则Tn＝(4n－3)n＝4n2－3n，n∈N*，∴bn＝8n－7，n∈N*，∴b1＝1时数列{bn}是等差数列．12.【解析】(1)n＝2时，a2＝3a1＋32－1n＝3时，a3＝3a2＋33－1＝95，∴a2＝23.∴23＝3a1＋8，∴a1＝5.(2)当n≥2时，bn－bn－1＝13n(an＋t)－13n－1(an－1＋t)[来源:Zxxk.Com]＝13n(an＋t－3an－1－3t)＝13n(3n－1－2t)＝1－1＋2t3n.要使{bn}为等差数列，则必须使1＋2t＝0，∴t＝－12，即存在t＝－12，使{bn}为等差数列【拓展提高参考答案】1.【解析】(1)证明：由已知an＋1＝2an＋2n得bn＋1＝an＋12n＝2an＋2n2n＝an2n－1＋1＝bn＋1.又b1＝a1＝1，因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知an2n－1＝n，8即an＝n·2n－1，Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，两边同乘以2得2Sn＝2＋2·22＋…＋n·2n，两式相减得Sn＝－1－21－22－…－2n－1＋n·2n＝－(2n－1)＋n·2n＝(n－1)2n＋1.2【解析】(1)∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.(2)方法一：假设存在实数λ，使得数列an＋λ2n为等差数列，设bn＝an＋λ2n，由{bn}为等差数列，则有2b2＝b1＋b3，[来源:学科网ZXXK]∴2×a2＋λ22＝a1＋λ2＋a3＋λ23，∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8.解得λ＝－1.事实上，bn＋1－bn＝an＋1－12n＋1－an－12n＝12n＋1[(an＋1－2an)＋1]＝12n＋1[(2n＋1－1)＋1]＝1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列an＋λ2n为等差数列．方法二：假设存在实数λ，使得an＋λ2n为等差数列．设bn＝an＋λ2n，由{bn}为等差数列，则有2bn＋1＝bn＋bn＋2(n∈N*)．∴2×an＋1＋λ2n＋1＝an＋λ2n＋an＋2＋λ2n＋2.∴λ＝4an＋1－4an－an＋2＝2(an＋1－2an)－(an＋2－2an＋1)＝2(2n＋1－1)－(2n＋2－1)＝－1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列an＋λ2n为等差数列．3.【解析】(1)∵不等式log2(ax2－3x＋6)＞2可转化为ax2－3x＋2＞0，所给条件表明：ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，根据不等式解集的性质可知：方程ax2－3x＋2＝0的两根为x1＝1，x2＝b.利用根与系数的关系不难得出a＝1，b＝2.由此知an＝1＋2(n－1)＝2n－1，Sn＝n2.9