等差数列及其前n项和练习题

第1讲等差数列及其前n项和一、填空题1．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.[来源解析a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝74.答案742．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S412－S39＝1，则公差为________．解析依题意得S4＝4a1＋4×32d＝4a1＋6d，S3＝3a1＋3×22d＝3a1＋3d，于是有4a1＋6d12－3a1＋3d9＝1，由此解得d＝6，即公差为6.[来源:学,科,网]答案63．在等差数列{an}中，a1＞0，S4＝S9，则Sn取最大值时，n＝________.解析因为a1＞0，S4＝S9，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，所以a7＝0，所以a6＞0，a8＜0，从而当n＝6或7时Sn取最大值．答案6或74．在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则S9＝________.解析∵a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，∴3a4＝39,3a6＝27，∴a4＝13，a6＝9.∴a6－a4＝2d＝9－13＝－4，∴d＝－2，∴a5＝a4＋d＝13－2＝11，∴S9＝9a1＋a92＝9a5＝99.答案995．设等差数列{an}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.解析由15＝a1＋a2＋a3＝3a2，得a2＝5.所以a1＋a3＝10，a1a3＝16.又公差d＞0，所以a1＝2，a3＝8.所以d＝3.所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝3(2＋33)＝3×35＝105.答案1056．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋pn，a7＝11.若ak＋ak＋1＞12，则正整数k的最小值为________．解析因为a7＝S7－S6＝2×72＋7p－2×62－6p＝26＋p＝11，所以p＝－15，Sn＝2n2－15n，an＝Sn－Sn－1＝4n－17(n≥2)，当n＝1时也满足．于是由ak＋ak＋1＝8k－30＞12，得k＞214＞5.又k∈N*，所以k≥6，即kmin＝6.答案67．已知数列{an}满足递推关系式an＋1＝2an＋2n－1(n∈N*)，且an＋λ2n为等差数列，则λ的值是________．解析由an＋1＝2an＋2n－1，可得an＋12n＋1＝an2n＋12－12n＋1，则an＋1＋λ2n＋1－an＋λ2n＝an＋12n＋1－an2n－λ2n＋1＝12－12n＋1－λ2n＋1＝12－λ＋12n＋1，当λ的值是－1时，数列an－12n是公差为12的等差数列．答案－18．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则k＝________.解析a7－a5＝2d＝4，d＝2，a1＝a11－10d＝21－20＝1，Sk＝k＋kk－12×2＝k2＝9.又k∈N*，故k＝3.答案310．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.则数列的通项公式an＝________.解析由an＋1＝f(2n＋1)＝2f(2n)＋2nf(2)＝2an＋2n＋1，得an＋12n＋1＝an2n＋1，所以an2n是首项为1，公差为1的等差数列，所以an2n＝n，an＝n·2n.答案n·2n二、解答题11．已知等差数列{an}的前三项为a－1,4,2a，记前n项和为Sn.(1)设Sk＝2550，求a和k的值；(2)设bn＝Snn，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．解(1)由已知得a1＝a－1，a2＝4，a3＝2a，又a1＋a3＝2a2，∴(a－1)＋2a＝8，即a＝3.∴a1＝2，公差d＝a2－a1＝2.由Sk＝ka1＋kk－12d，得2k＋kk－12×2＝2550，即k2＋k－2550＝0，解得k＝50或k＝－51(舍去)．∴a＝3，k＝50.(2)由Sn＝na1＋nn－12d得Sn＝2n＋nn－12×2＝n2＋n.∴bn＝Snn＝n＋1，∴{bn}是等差数列，则b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n－1＋1)＝4＋4nn2.∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝2n2＋2n.12．已知数列{an}的通项公式为an＝2n，若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.设{bn}的公差为d，则有b1＋2d＝8，b1＋4d＝32.解得b1＝－16.d＝12.从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.所以数列{bn}的前n项和Sn＝n－16＋12n－282＝6n2－22n.13．在等差数列{an}中，公差d＞0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝Snn＋c(n∈N*)，是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解(1)由题设，知{an}是等差数列，且公差d＞0，则由a2a3＝45，a1＋a5＝18，得a1＋da1＋2d＝45，a1＋a1＋4d＝18.解得a1＝1，d＝4.∴an＝4n－3(n∈N*)．(2)由bn＝Snn＋c＝n1＋4n－32n＋c＝2nn－12n＋c，∵c≠0，∴可令c＝－12，得到bn＝2n.∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，∴数列{bn}是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c＝－12，使数列{bn}也为等差数列．第2讲等比数列及其前n项和一、填空题1．设数列{a2n}前n项和为Sn，a1＝t，a2＝t2，Sn＋2－(t＋1)Sn＋1＋tSn＝0，则{an}是________数列，通项an＝________.解析由Sn＋2－(t＋1)Sn＋1＋tSn＝0，得Sn＋2－Sn＋1＝t(Sn＋1－Sn)，所以an＋2＝tan＋1，所以an＋2an＋1＝t，又a2a1＝t，所以{an}成等比数列，且an＝t·tn－1＝tn.答案等比tn2．等比数列{an}的前n项和为Sn,8a2＋a5＝0，则S6S3＝________.解∵8a2＋a5＝8a1q＋a1q4＝a1q(8＋q3)＝0∴q＝－2∴S6S3＝1－q61－q3＝1＋q3＝－7.答案－73．数列{an}为正项等比数列，若a2＝2，且an＋an＋1＝6an－1(n∈N，n≥2)，则此数列的前4项和S4＝________.解析由a1q＝2，a1qn－1＋a1qn＝6a1qn－2，得qn－1＋qn＝6qn－2，所以q2＋q＝6.又q＞0，所以q＝2，a1＝1.所以S4＝a11－q41－q＝1－241－2＝15.答案154．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－15，则实数t的值为________．解析∵a1＝S1＝15t－15，a2＝S2－S1＝45t，a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比数列知45t2＝15t－15×4t，显然t≠0，所以t＝5.答案55．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2≥18的最大正整数n的值为________．解析由等比数列的性质，得4＝a2·a4＝a23(a3＞0)，所以a3＝2，所以a1＋a2＝14－a3＝12，于是由a1q2＝2，a1()1＋q＝12，解得a1＝8，q＝12，所以an＝8·12n－1＝12n－4.于是由an·an＋1·an＋2＝a3n＋1＝123(n－3)＝18n－3≥18，得n－3≤1，即n≤4.答案46．在等比数列{an}中，an0，若a1·a2·…·a7·a8＝16，则a4＋a5的最小值为________．解析由已知a1a2·…·a7a8＝(a4a5)4＝16，所以a4a5＝2，又a4＋a5≥2a4a5＝22(当且仅当a4＝a5＝2时取等号)．所以a4＋a5的最小值为22.答案227．已知递增的等比数列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，则a13a10＝________.解析∵{an}是递增的等比数列，∴a3a7＝a2a8＝2，又∵a2＋a8＝3，∴a2，a8是方程x2－3x＋2＝0的两根，则a2＝1，a8＝2，∴q6＝a8a2＝2，∴q3＝2，∴a13a10＝q3＝2.答案28．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值为________．解析由题意知a3＝q，a5＝q2，a7＝q3且q≥1，a4＝a2＋1，a6＝a2＋2且a2≥1，那么有q2≥2且q3≥3.故q≥33，即q的最小值为33.答案33二、解答题11．在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.(1)求数列{an}的通项公式；[来源:Zxxk.Com](2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.解(1)设等差数列{an}的公差是d.依题意a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，从而d＝－3.由a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1.所以数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2.(2)由数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列，[来源得an＋bn＝cn－1，即－3n＋2＋bn＝cn－1，所以bn＝3n－2＋cn－1.所以Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋c＋c2＋…＋cn－1)＝n3n－12＋(1＋c＋c2＋…＋cn－1)．从而当c＝1时，Sn＝n3n－12＋n＝3n2＋n2.当c≠1时，Sn＝n3n－12＋1－cn1－c.[来源:Z*xx*k.Com]12．设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝17.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在最小的正整数m，使得n≥m时，an201115恒成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．解(1)设{an}的公比为q，由S4＝1，S8＝17知q≠1，所以得a1q4－1q－1＝1，a1q8－1q－1＝17.相除得q8－1q4－1＝17，解得q4＝16.所以q＝2或q＝－2(舍去)．由q＝2可得a1＝115，所以an＝2n－115.(2)由an＝2n－115201115，得2n－12011，而2102011211，所以n－1≥11，即n≥12.因此，存在最小的正整数m＝12，使得n≥m时，an201115恒成立．13．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2·a4＝65，a1＋a5＝18.(1)求数列{an}的通项公式an.(2)若1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值；(3)是否存在常数k，使得数列{Sn＋kn}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．解(1)因为a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2·a4＝65，所以a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根．又公差d＞0，所以a2＜a4.所以a2＝5，a4＝13.所以a1＋d＝5，a1＋3d＝13，解得a1＝1，d＝4.所以an＝4n－3.(2)由1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，所以a1·a21＝a2i，即1·81＝(4i－3)2，解得i＝3.(3)由(1)知，Sn＝n·1＋nn－12·4＝2n2－n.假设存在常数k，使数列{Sn＋kn}为等差数列，由等差数列通项公式，可设Sn＋kn＝an＋b，得2n2＋(k－1)n＝an2＋2abn＋