等差数列的前n项和公式推导教学案例分析

等差数列的前n项和公式推导教学案例分析奉贤区曙光中学数学组张居富一、课例背景：俗话说万事开头难，数学课的教学也是如此。上课伊始的第一句话讲什么？第一件事做什么？如何恰到好处地引出课题，从而能抓住学生的思绪，尽快地进入学习的高潮？这确实很有必要去研究探讨。早在春秋战国时期，孔子在谈如何进行启发教学时就讲过：“不愤不启，不悱不发”（《论语·述而》）。愤者，心求通而未得；悱者，口欲言而未达。因此，在教学中教师应该设法创造一种情景，使学生变得“心求通，口欲言”。创设情景的办法很多，主要是一个“疑”字，学生有疑之后便要“求通欲言”了。一般认为，课题的引入是否成功，主要体现在以下四个方面：(1)是否自然合理，既是前面知识的继续，又是后续知识的开端，以一定的积累为基础；(2)能否引起学生的兴趣，使他们聚精会神地投入进来，在情感上与教师和教材贴得更近；(3)使学生初步了解这节课的教学任务，无论是在操作层面上，还是在思维层面上，做好迎接挑战的准备；(4)让学生面临一个似曾相识，己有一些感性认识、但理性认识欠缺的问题，形成一个欲罢不能的追求目标。二、教学过程：在现行高中数学教材中，无论是一期还是二期教材，在引入等差数列的前项和的这一节课中都是用了高斯计算：1+2+3+…+100作为引例。而这个引例只是说明了怎样做的问题，却没有道出为什么要这样做，没有触及到思维层面的东西。没有使学生的思维上升到理论的层面，不能让学生的知识深度迁移能力得到发展。因此，我在上这节课时作了如下的设计：复习：等差数列{an}的通项公式及其性质：(1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d；(2)am+an=ap+aq.(其中m、n、p、q∈N，d为公差)例：如图，函数y=2cosx(0≤x≤π)的图象和直线y=2及x=π围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积。分析：提示回忆初中求三角形的面积公式时做法，通过补形求平行四边形面积，而三角形的面积为平行四边形面积的一半求得三角形面积公式。类比得出，利用“补形”的方法可求出封闭图形的面积。其中关键是用了对称性得知所求图形面积与所补图形的面积相等，而补形后的图形是可求面积的规则图形。其中也体现了数学的对称美的价值。O2-2πxy解：如图，补形后的图为一个矩形：S矩形=4π而由函数y=2cosx(0≤x≤π)的图象关于点(2,0)成中心对称，所以阴影部分占整个矩形的一半，所以S阴影=2π，即这个封闭图形的面积为2π.问题：等差数列{an}中，若首项为a1，公差为d，则其前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an用a1、an、n怎样表示？（板书课题：等差数列的前n项和公式）分析：上面我们通过“补形”的方法，将一个本身不易求面积的图形的面积求解问题解决了，现在我们来求一个等差数列的前n项和，怎么来求这些数的和呢？这时有一个学生提出了“补数”的想法，我说很好！我们再补一个Sn。但此时这个数列的前n项怎么排列呢？通过学生讨论，得出项数从大到小排列的结果如下：Sn=an+an-1+an-2+…+a1Sn=a1+a2+a3+…+an如此利用等差数列的性质可知：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1,所以得到2Sn=n(a1+an)，从而得出结论：Sn=2)(1naan.三、教后反思：从二期课改的新教材内容的安排来看，《数列》安排在《三角》之后，因而此设计可以说既是前面知识的继续，又是后续知识的开端。让学生在思维层面上为研究新知作好准备，让学生从“补形”到“补数”作准备。二期课改的课程理念是：一要注重让学生学习自行获取数学知识的方法，学会自主学习，获得终身受用的数学基础能力和创造能力；二是要展现知识的生成、发展和形成的过程，提供学生亲身感受、体验的机会，在数学教学中，教师应从学生己有的知识经验出发，激发学生探求新知识的兴趣，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中构建知识、训练技能、领会数学思想方法、获得数学知识的经验；三是要在数学活动过程中，理解数学美在方法论上的价值。在后面的组内研讨时，也有老师提出用求三角形的面积去引入，但这样学生己经有了三角形的面积公式，就没有了必要想“补形”的方法。“补数”的方法我们在后面的二项式系数里也有非常重要的作用，例如，己知(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a1+a2+…+a6=___________.在本例中，要直接求得a1+a2+…+a6的值是不行的，我们要先“补加上一个a0”，这样就可以在原式中给x赋值1，先求得a0+a1+a2+…+a6=1，再给x赋值0，求）+得a0=1，从而求出a1+a2+…+a6等于(a0+a1+a2+…+a6)-a0等于0。在2003年全国高中数学联赛中，有这样一道立体几何题：在四面体ABCD中，设AB=1,CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为3.则四面体ABCD的体积等于()(2003年全国)(A)23；(B)21；(C)31；(D)33.这道题中，就是考察学生对棱锥的体积公式的推导过程中的“补形”的思想方法。过点B作BE平行且等于CD，过点C作CF平行且等于AB，连接AE、ED、AF、DF，则原三棱锥补为一个以三角形ABE和三角形FCD为底面的三棱柱，SΔABE=21AB·BEsin∠ABE=21×1×3sin3=43,而异面直线AB与CD的距离即为棱柱的高。所以VFCDABE三棱柱=43×2=23,VBCDA三棱锥=31VFCDABE三棱柱=21.所以答案为(B).数学教学内容贯穿着两条主线，即数学基础知识和数学思想方法。数学基础知识是一条明线，直接用文字形式写在教材里，反映着知识间的纵向联系。数学思想方法则是一条暗线，反映着知识间的横向联系，常隐藏在基础知识的背后，需要加以分析、提炼才能使之显露出来。数学教学中对提高学生的素质起着重要作用的，是在长期的数学学习中逐步形成的数学精神和数学思想方法。因此，在数学教育中要重视数学思想方法的教学。在本案例中，我们在培养学生的数学思维能力上作了一些尝试，当然一节课是不能改变一个人的思想，但只要我们时常注重在教学中培养学生一些解决问题的方法----数学思想方法，这将使学生终身受益。最后我们用数学家华罗庚教授的一首诗与广大师生共勉：数形本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事休。几何代数统一体，永远联系莫分离。参考文献：1．夏炎，《让学生在愤悱状态中学习》（中学数学教学参考，4/2001）2．上海市中小学数学课程标准（征求意见稿）3．朱成杰，《数学思想方法教学研究导论》ABCDABCDEF