等价无穷小在求函数极限中的应用及推广

等价无穷小在求函数极限中的应用及推广作者：马志指导老师：张海摘要利用等价无穷小作代换是计算极限的一种常用、方便、有效的方法，围绕无穷小之比、变上限积分的极限、幂指函数和Taylor公式，利用等价无穷小代换思想进行分析应用，以此达到极限求解中化繁为简、化难为易得目的。在求极限过称中，用等价无穷小代替，起到了一种化繁为间的作用，在函数中也能使用等价无穷小前言设f在某0x内有定义，若0lim()0xxfx则称f为当0xx时的无穷小量设当0xx时，f于g均为无穷小量若0()lim1()xxfxgx则称f于g是当0xx时的等价无穷小量。记作0()~()()fxgxxx一、等价无穷小在求函数极限中的应用1求函数的极限技巧很强，可利用无穷小等价的关系，简化了求某些01型的极限的计算引理设函数f（x），f（x）满足下列条件：在a的某个去心邻域内均有非零导数（1）Limf（x）=0，lim()0xafx；（2）()lim1()xafxfx则()lim1()xafxfx，ln(1())lim1ln(1())xafxfx（3）当f（x），()fx0时,ln()limln()xafxfx=1证明由洛比塔法则;()lim()xafxfx()lim1()xafxfx;ln(1())limln(1())xafxfx1()()lim.11()()xafxfxfxfxln()limln()xafxfx=()()lim.1()()xafxfxfxfx,证毕定理1设函数f(x),g(x)及()fx,()gx满足下列条件:（1）在a的某去心邻域内均有导数（2）在xa时,均为无穷小量,()lim1()xafxfx,()lim1()xagxgx,于是;(1)若1()lim1(),fxxagxl1()lim1()fxxagxl(2)若f(x),()fx0，且()lim()gxxafxt,则()lim()gxxafxt证明由引理(1)ln1()ln1()ln1()ln1()()limlim**lim()()()()ln1()xaxaxagxgxgxgxfxfxfxfxfxgx故11()()lim1()lim1()fxfxxaxagxgxl(2)()ln()lim()ln()lim()ln()**lim()ln()()ln()xaxaxagxfxgxfxgxfxgxfxgxfx故()()lim()lim()gxgxxaxafxfxt如果我们能熟记一些符合定理条件的一些无穷小量,则在求某些01型的极限时将很方便.如0x时,,sin,tan,1,ln(1)xxxxex等,均为无穷小量,且00200sinlimlimcos1tan1limlim1cosxxxxxxxxxx00001limlim1ln(1)1limlim11xxxxxxeexxxx例1求下列函数的极限(1)32cot000lim(1),(2)lim1tan,(3)lim1sinxxxxxxxxx41sin00(4)lim(),(5)lim1ln1xxxxxxex解(1)原式=11tan00lim1lim1xxxxxxe(2)原式=330lim(1)xxxe(3)原式=221200lim1lim1xxxxxxe（4）原式=4100lim11lim21xxxxxxxexe（5）原式=10lim1xxxe例2求下列函数的极限sinsin2002tan12tan002(1)limcos,(2)lim,(3)limtan1(4)limcot,(5)lim,(6)limtanxxxxxxxxxxxxxxxxxx解（1）原式=202limsinlimsinlim12xyyyoyxxyy（其中，2yx）（2）原式=sin00limlim1xxxxxx（3）原式=0lim1xxx（4）原式=111ln1lnlnln000limtanlimlimxxxxxxxxxee（5）原式=tan00limlim1xxxxxx（6）原式=222000limcotlimtanlim1yyyxxxyyy（其中2yx）所谓等价无穷小，是指在同种变化趋势下，和都是无穷小，且0，如果lim1，那么和是等价无穷小，记~。这意味着在这一极限过程中，和趋近于零的速度基本相同。例如因为0sinlim1xxx，0tanlim1xxx，所以当0x时，,sin,tanxxx都是等价无穷小，即sin~,tan~xxxx。常见的等价形式有：0x时，22~sin~tan,~arcsin~arccos,~ln(1),~1,(1)~1,1cos~2xaxxxxxxxxxxexaxx11(1)1~nxxn,111~2xx2对不定式极限0,0型的计算定理2若在同一极限过程中，a，b是无穷小且~,~aabb则limlimaabb该定理表明，对00型未定式可以施行等价无穷小替换来计算极限。但是这种替换只限于整个分子（分母）及其乘积因子，当分子或分母为代数和时，对其中的项却不能随意作等价无穷小替换。例如：求极限30tansinlimsinxxxx时，sinx~x，tanx~x对原式作无穷小替换将导致错误的结果：原式=30lim0xxxx（正确结果为12）例3因为当0x时sin~~tanxxx0lntan7limlntan2xxx解原式=0tan7lnln77limtan2lnln22xxxxxxx=0070ln77limlim120ln22xxxxxx例41lntan20limsinxxx解00sinlnlnlim1lnsintan2limlnln2lntan2lntan220limsinxxxxxxxxxxxxxee使用等价无穷小，当0x时sin~,tan~xxxx上式=0lnlim1ln2xxxeee例5求630ln(tan((12)))limlnsin((1cos))xxx解它是型，按以前的求极限方法，它是不能用等价无穷小来代替，用洛必达法则计算原式=61265313201[tan((121))]sec((121))6(121)12lim...1[sin((1cos))]cos((1cos))3(1cos)sinxxxxxxxxx很显然，这个题目直接用洛比达法则求解太繁，我们考虑函数中使用等价无穷小进行化简。注意到：当0x时，有6666233361tan(121)~(121)~((2))21sin((1cos))~(1cos)~()28xxxxxxxx原极限=6666360066(tan((121)))lnlnlnlimlim1(in((1cos)))1lnln8lnln()188xxxxxxsxxxx可见，对一些无法直接使用等价无穷小的极限式直接使用洛比达法则，会造成计算量大而且通过对函数式的构造变换，再使用等价无穷小，就很容易求得答案了。3数列极限的若干计算法（1）极限的四则运算法则若{na}与{nb}为收敛数列，则{nnab}，{nnab}，{nnab}也都是收敛数列，其有lim()limlim()limlimnnnnnnnnnnnnnabababab例6求lim(1)nnnn解1(1)1111nnnnnnn由111()nn得11lim(1)lim2111nnnnnn（2）利用重要极限求数列的极限两个重极限分别为n0sinx1(1)lim1,(2)lim(1)enxnx例7求n2lim(1)nn解222n22lim(1)lim1nnnenn（3）单调有界数列法这一方法是利用极限理论基本定理：单调有界数列必有极限，其方法为:(1)判定数列是单调有界的，从而可设其极限为A。（2）建立数列相邻两项之间的关系式。（3）在关系式两端取极限，得以关于A的方程，若能解出A，问题得解。例8求数列,,aaaaaaaaa其中（a0）极限解:设0xa，10xaaax…1(1,1,2...)nnxaxn则{nx}是单调有界数列，它必有极限，设其极限为A在1nnxax两边取极限得AaA即20AAa所以1142aA，因为A0所以1142aA即114lim2nnax（4）利用定积分计算计算项数无限增多的无穷小量之和，有时可设法把问题化为某一函数在某一区间上的积分和的极限问题，从而利用定积分求解。有时问题呈现乘积的形式，也可试用本方法，只式要先取对数将问题转化为和的形式。例9计算1lim!nnnn（2n）!解1(2(2)!12(1)(1)...!!nnnnnnnnannnnnnn）！（1+）、先考虑1111lnln(1)ln(1)nnniiiiannnn，从而有1100limlnln(1)(1)ln(1)12ln21nnaxdxxx因此2ln214limnnaee（5）变上限积分的极限常用的变上限积分的等价无穷小有：2000000~tan~arcsin~arctan~ln(1)~(1)~2xxxxxxtxtdttdttdttdttdtedt302020(1cos)~611~21(1)~ln2xxxtxtdtxdtxadtxa其中0,1aa上述等式可以用洛比塔法则直接证明，证明中我们可以看到被积函数之间是等价无穷小，由此可得将被积函数用等价无穷小代换后的变上限积分仍是等价无穷小，即是:定理3若当0,()0,()xfxfx存在，()0,()0,()~()FxGxFxGx，则()()00()~()fxfxFtdtGxdt。证明：()()00()()0()()0()000()()()()()limlimlimlim1()()()()()fxfxfxfxxfxofxfxFxdtFxdtFfxfxFfxGfxfxGfxGtdtGxdt由此定理还可以得出如下结论，例如：tantan22300()()2001sin~tan(0)311~()(0,()0)2xxfxfxtdttdtxxtdttdtftxfx例10求220sin03(1)limxtxxoedttdt解原式=26260sin4000340143limlimlim013(sin)4xxxxxxtdtxxtdtx例11求601cos020arctan(1)lim(11)xxxtdttttdt解原式=666020001cos3601ln(1)(1)limlimlim481111(1cos)23682xxxxxdtxxttxxdt（6）幂指数数激增和Taylor公式使用定理4设~,~，且101100lim(1)lim(1)l