等价无穷小替换,极限的计算

西南石油大学《高等数学》专升本讲义1无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了n数列nx的极限、x（x、x）函数xf的极限、0xx（0xx、0xx）函数()fx的极限这七种趋近方式。下面我们用x＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊000xxxxxxxxxn定义：当在给定的x＊下，()fx以零为极限，则称()fx是x＊下的无穷小，即0limxfx＊。例如,,0sinlim0xx.0sin时的无穷小是当函数xx,01limxx.1时的无穷小是当函数xx,0)1(limnnn.})1({时的无穷小是当数列nnn【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。定义：当在给定的x＊下，xf无限增大，则称xf是x＊下的无穷大，即xfx＊lim。显然，n时，、、、32nnn都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如西南石油大学《高等数学》专升本讲义20limxxe，xxelim，所以xe当x时为无穷小，当x时为无穷大。2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果xf为无穷大，则xf1为无穷小；反之，如果xf为无穷小，且0xf，则xf1为无穷大。小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。3.无穷小与函数极限的关系:定理10lim()()(),xxxfxAfxAx®=?+其中)(x是自变量在同一变化过程0xx（或x）中的无穷小.证：（必要性）设0lim(),xxfxA®=令()(),xfxA=-则有0lim()0,xxx®=).()(xAxf（充分性）设()(),fxAx=+其中()x是当0xx®时的无穷小，则00lim()lim(())xxxxfxAx=+)(lim0xAxx.A【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().fxxfxAx»给出了函数在附近的近似表达式误差为3.无穷小的运算性质定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn1,,.11不是无穷小之和为个但nn定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：01)1(limnnn，01sinlim0xxx，0sin1limxxx推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin,sinxxxxxx®当时都是无穷小，观察各极限：西南石油大学《高等数学》专升本讲义3xxx3lim20,0;32要快得多比xxxxxsinlim0,1;sin大致相同与xx2201sinlimxxxxxx1sinlim0.不存在不可比.极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义:设,是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.¹(1)lim0,,();o==如果就说是比高阶的无穷小记作;),0(lim)2(是同阶的无穷小与就说如果CClim1,~;=特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim(0,0),.kCCkk=?如果就说是的阶的无穷小例1.tan4,0:3的四阶无穷小为时当证明xxxx证：430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx,4.tan4,03的四阶无穷小为时故当xxxx例2.sintan,0的阶数关于求时当xxxx解30sintanlimxxxx)cos1tan(lim20xxxxx,21.sintan的三阶无穷小为xxx2．常用等价无穷小:,0时当x（1）xsin～x；（2）xarcsin～x；（3）xtan～x；（4）xarctan～x；（5）)1ln(x～x；（6）1xe～x（7）xcos1～22x（8）1)1(x～x（9）1xa-～lnax*用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim,0lim),(o即).(o于是有例如),(sinxoxx).(211cos22xoxx3．等价无穷小替换定理：.limlim,lim~,~则存在且设西南石油大学《高等数学》专升本讲义4证：lim)lim(limlimlim.lim例3（1）.cos12tanlim20xxx求；（2）1cos1lim20xexx解:（1）.2~2tan,21~cos1,02xxxxx时当故原极限202(2)lim12xxx®==8（2）原极限=2lim220xxx=21例4.2sinsintanlim30xxxx求错解:.~sin,~tan,0xxxxx时当30)2(limxxxx原式=0正解:,0时当x,2~2sinxx)cos1(tansintanxxxx,21~3x故原极限33012lim(2)xxx®=.161【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。例5.3sin1cos5tanlim0xxxx求解:),(5tanxoxx),(33sinxoxx).(21cos122xoxx原式22015()()2lim3()xxoxxoxxox®+++=+xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20.35三、极限的简单计算1.代入法：直接将0xx的0x代入所求极限的函数中去，若0xf存在，即为其极限，例如924231232lim3451xxxxxx；若0xf不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，39lim23xxx就代不进去了，但我们看出了这是一个00型西南石油大学《高等数学》专升本讲义5未定式，我们可以用以下的方法来求解。2.分解因式，消去零因子法例如，63lim39lim323xxxxx。3.分子（分母）有理化法例如，355125125123535lim51235lim222222xxxxxxxxxx424lim22xxx2222lim2xxxx2又如，011lim1lim22xxxxxx4.化无穷大为无穷小法例如，2222173373limlim142422xxxxxxxxxx+-+-==-+-+，实际上就是分子分母同时除以2x这个无穷大量。由此不难得出mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx，，，0lim00110110又如，12111lim21limxxxxxx，（分子分母同除x）。再如，1153152lim5352limnnnnnnnn，（分子分母同除n5）。5.利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限西南石油大学《高等数学》专升本讲义6例如，0131arctanlim2xxxxx，（无穷小量乘以有界量）。又如，.3214lim21xxxx求解：)32(lim21xxx,0商的法则不能用)14(lim1xx又,031432lim21xxxx.030由无穷小与无穷大的关系,得.3214lim21xxxx再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。6.利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）7.分段函数、复合函数求极限例如，).(lim,0,10,1)(02xfxxxxxfx求设解:两个单侧极限为是函数的分段点,0x)1(lim)(lim00xxfxx,1)1(lim)(lim200xxfxx,1左右极限存在且相等,.1)(lim0xfx故【启发与讨论】思考题1：110,sinxyxx?当时是无界变量吗？是无穷大吗？解：),3,2,1,0(221)1(0kkx取,22)(0kxy.)(,0Mxyk充分大时当无界，),3,2,1,0(21)2(0kkx取西南石油大学《高等数学》专升本讲义7,,kxk充分大时当kkxyk2sin2)(但.0M不是无穷大．结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若0)(xf，且Axfx)(lim，问：能否保证有0A的结论？试举例说明.解：不能保证.例xxf1)(,0x01)(xxf)(limxfx.01limAxx思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能．例如当x时,1)(xxfxxxgsin)(都是无穷小量但)()(limxfxgxxxsinlim不存在且不为无穷大，故当x时)(xf和)(xg不能比较.【课堂练习】求下列函数的极限（1）xxexxcoslim0；解：原极限=1cos1lim1limcoslim000xxxexxexxxxx（2）求)1ln()cos1(1cossin3lim20xxxxxx【分析】“00”型，拆项。解：原极限=xxxxx21cossin3lim20=xxxxxx21cos2sin3lim20=23（3）142345lim5245xxxxxx；【分析】“抓大头法”，用于型解：原极限=543142345limxxxxx=25，或原极限555522limxxx==（4）)(lim2xxxx；【分析】分子有理化西南石油大学《高等数学》专升本讲义8解：原极限=xxxxx2lim=1111limxx=21（5）)214(lim222xxxx【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。解：)214(lim222xxxx=42lim222xxxx=21lim2xxx=43（6）39lim220xxx【分析】“00”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子。解：原极限=222039limxxxx=6（7）).21(lim222nnnnn求解:是无穷小之和．时,n先变形再求极限.222221lim)21(limnnnnnnnn2)1(