等比数列的前n项和(第一节)

示范观摩教学教案等比数列的前n项和（第一课时）蓝田县焦岱中学黄三虎一、教材分析从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第一章“数列”第三节的内容，一方面它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习“数列的极限”等内容作准备.就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论、方程求解等在各种数列求和问题中有着广泛的应用；另外它在如“分期付款”、银行存款（“零存整取”“定期自动转存”）等实际问题的计算中也经常涉及到.就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系.二、教学目标依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题．过程与方法目标：以数学故事为切入点，通过数据计算、公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．情感与态度目标：通过数学故事、趣味数学问题，激发学生的学习兴趣，鼓励学生大胆尝试、勤于思考、敢于创新品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．阅读数学人物故事，感受往圣前贤孜孜不倦追求科学真理的品质，激励学生求知创新的欲望.三、教学重点和难点重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力.突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：情境故事→公式推导→公式运用；（二）过程与方法线:特殊到一般、具体到抽象→错位相减法等；（三）能力线：观察能力→解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度.难点：等比数列的前n项和公式的推导．从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高.从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的，而且错位相减法是第一次碰到，对学生来说是个新鲜事物.四、教学方法利用多媒体等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.五、教学过程1.创设情境，提出问题在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊．为什么呢？我们也来算算。设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性．故事内容紧扣本节课的主题与重点．此时设问：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数．带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和．这时我对他们的这种思路给予肯定．设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造23631+2+2+2++2知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍．同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔.2.师生互动，探究问题在肯定他们的思路后，我接着问：1，2，22，…，263是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？探讨1：，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2则有，记为（2）式．比较（1）(2）两式，你有什么发现？设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机．经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：．老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？设计意图：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心．3.类比联想，解决问题这时我再顺势引导学生将结论一般化，这里，让学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导．设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感．对不对？这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？（这里引导学生对q进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础．）23631+2+2+2++2236364设s=1+2+2+2++2s236364642=2+2+2++2+2公比为，qn如何求前n项和s？n1设等比数列a,首项为a,646421sn11nn11na-aq(1-q)s=a-aqs=1-q在学生推导完成后,我再问:由得再次追问：结合等比数列的通项公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力．这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用．4.讨论交流，延伸拓展在此基础上，我提出：探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗？我们知道,那么我们能否利用这个关系而求出sn呢？根据等比数列的定义又有234n123n-1aaaa=====qaaaa，能否联想到等比定理从而求出sn呢？设计意图：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围.以上两种方法都可以化归到11nnqsas,这其实就是关于ns的一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用.5.及时练习，熟练应用题号a1qnanSn(1)326(2)147(3)3480让学生在掌握公式的基础上熟练公式运用，着重强调公式的选择.设计意图：本例由书中的例题改编而成，利用等比数列通项公式和等比数列求和公式快速解答，“知三求二”体现方程思想,有利于提高思维的灵活性和计算准确性.6.变式训练,深化认识2n-1n-2n11111111s=a+aq+aq++aq=a+q(a+aq++aq)5102n（1）求等比数列1,2,4，前10项的和；（2）求等比数列1,2,4，前多少项的和是512；（3）求等比数列1,2,4，从第项到第项的和；（4）求等比数列1,2,4，前项中偶数项的和；首先，学生独立思考，自主解题，再请学生汇报结果，最后幻灯演示他们的解答，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结．设计意图：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识．7.趣题探究，形成技能（1）话说灰太狼为研究新型捕羊设备，急需大量资金，于是就找喜洋洋帮忙。“行！我每天投资100万元，连续一个月（30天），但是有一个条件是：作为回报，从投资的第一天起你必须返还给我1元，第二天返还2元，第三天返还4元……即后一天返还数为前一天的2倍．”“第一天：支出1元，收入100万；第二天：支出2元，收入100万，第三天：支出4元，收入100万元；……哇，发财了……”灰太狼心里越想越美……再看看喜洋洋的表情，心里又嘀咕了：“这小羊老是欺骗我，会不会又在耍我？请你帮灰太狼分析一下，按照喜洋洋的投资方式，30天后，能吸纳多少投资？又该返还给喜洋洋多少钱？设计意图：以动漫故事的形式改变教材的“贷款游戏”，增加数学知识的趣味性，激发学生的好奇心，起到寓教于乐。（2）被称为“世界屋脊”的喜马拉雅山的主峰---珠穆朗玛峰，海拔8844米，是世界第一高峰。但一张纸却不服气，它说：“别看我单薄，只有0.01cm，如果你能把我对着30次后，我的厚度一定超过珠穆朗玛峰。”这张纸是不是在吹牛？我们算算看。首先让学生动手折纸，教师也做示范，观察纸张厚度和面积的变化，会发现，纸张的厚度在每折叠一次增加一倍，每次折叠后纸张的厚度为0.01，0.02，0.04，0.08，······，形成以0.01为首项，以2公比的等比数列，所以a30=0.01×229=536870912。即53687.0912米，是珠穆朗玛峰的6倍还多。同时，也发现纸张的面积在逐渐减小，每次折叠后的面积都是前一次折叠后面积一半，如果把原始纸张面积记做21m，则每次折叠后的面积依次为：111124816，，，，，形成以1为首相，以12为公比的等比递减数列，容知面积是越来越小，最后是难以完成折叠。设计意图：动手折纸实践活动增强学生对数学学习的兴趣和积极性，体会在实践中获得知识、技能以及成功解决问题的自豪感。7.总结归纳，加深理解以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结．设计意图：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力．8.故事结束，情感教育历史人物故事之吴敬吴敬，中国明代数学家。字信民，号主一翁。浙江仁和（今杭州）人。生卒年不详，约生活于十五世纪。曾任浙江布政使司的幕僚，掌管全省田赋和税收的会计工作，对当地商业活动十分熟悉，且以善算而闻名当地。吴敬曾“历访《九章》全书，久未得见”，经过十余年努力，吴敬终于在1450年撰写了《九章算法比类大全》10卷，对程大位《算法统宗》以及明中叶以后的数学产生了重大影响。在《九章算法比类大全》收录这样一道有趣的问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，试问尖头几盏灯？”同学们，你知道这首诗的意思是什么吗？答案又是什么呢？设计意图：以人文故事结束，让学生体会前贤古人对科学孜孜不倦的追求精神，领略中国古代数学的无穷魅力，最后将悬念疑问留给学生去思索，激发学生的求知热情，也让有限的课堂延展到课堂之外。9.课后作业，分层练习（1）阅读教材26页到29页（2）作业：必做[习题1-3]A组2,6；选做[习题1-3]B组1,3。（3）思考题：设计意图：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间．六、教学设计说明23nx+2x+3x++nxn求数列前项的和。1．情境设置趣味化.本着新课程的教学理念，考虑到高二学生的心理特点，采用历史故事的形式创设问题情景，意在营造生动活泼的学习气氛，激发学生的探究欲.2．问题探究活动化．教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过