等腰三角形中的数学思想

等腰三角形中的数学思想数学思想是解数学题的金钥匙，在等腰三角形中，根据题目的特征，巧妙灵活地运用数学思想解题，可化繁为简，起到事半功倍之效，同时也可有效地防止某些错误发生，现举例说明.一.方程思想例1:等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分,求这个等腰三角形的底边长.分析:这是几何中的代数问题,不妨考虑通过设未知数,利用方程(组)思想来解决.解:设这个等腰三角形的腰长分别为2xcm,底边长为ycm,则21,123yxx或12,213yxx舍174yx或.5,7yx答:这个等腰三角形底边长是5cm评注:方程(组)思想是数学学习中的一个重要思想,它是通过设未知数,利用题意来设法建立方程(组),在求解,求出三角形的边必须用三角形边与边不等关系来检验,决定取舍.二.分类讨论思想例2已知等腰三角形的一个角为400，则其顶角为（）.A.400B.800C.400或800D.1000分析：因为并未说明等腰三角形中400的角是顶角还是底角，所以需要对角进行分类讨论。例3已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，则它的周长是__________.周长是13或14.三.整体思想例3：如图2，在△BAC中，AB=AC,AB+BC=13,AB边的垂直平分线MN交AC于D,求△BCD的周长.解:∵MN垂直平分AB交AC于D,∴BD=AD.又∵AB=AC,∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB=13.评注:本题若分别求三边长,则不易求解,而巧妙地应用整体思想求解严防等腰三角形中的“陷阱”一、利用顶角与底角不分设陷对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，必须分成两种情况来讨论。分类时要注意：三角形内角和等于1800；等腰三角形中至少有两个角相等．例1．等腰三角形ABC中，∠Ａ＝700，求∠Ｂ，∠Ｃ的度数．剖析：∠Ａ可以是顶角，也可以是底角，因此本题有两解，当∠Ａ是顶角时，∠Ｂ＝∠Ｃ＝５５0；当∠Ａ是底角时，若∠Ｂ是顶角时，∠Ｂ＝400，∠Ｃ＝700；若∠Ｂ是底角时，∠Ｂ＝700，∠Ｃ＝400．二、利用腰与底不分设陷CNMDBA图2例2．等腰三角形一腰上的中线将其周长分为12㎝和15㎝两部分，求三边长．即三边长为8㎝，8㎝，11㎝，或10㎝，10㎝，7㎝．例3．等腰三角形中，一边与另一边之比为3：2，该三角形周长为56，求腰长是多少？错解：设腰长为3ｘ，则底为2ｘ，则3ｘ＋2ｘ＋3ｘ＝56，∴ｘ＝7，∴腰长为21，剖析：当腰为2ｘ时，底为3ｘ，则有2ｘ＋2ｘ＋3ｘ＝56，∴ｘ＝8，∴腰长为16．变一变思路宽例如图，点MN，分别在正三角形ABC的BCCA，边上，且BMCN，AMBN，交于点Q．求证：60BQM∠．一、变结论若将题中“BMCN”与“60BQM∠”的位置交换，得到的结论是否仍是正确？二、变位置若将题中的点MN，分别移动到BCCA，的延长线上，是否仍能得到60BQM∠？所以ACMBAN△≌△（SAS）。。所以60BQM．三、变图形若将题中的条件“点MN，分别在正三角形ABC的BCCA，边上”改为“点MN，分别在正方形ABCD的BCCD，边上”，是否仍能得到60BQM∠？析解：原来是等边三角形变成了正方形，往往有的同学们在做了上面习题后，会猜想下面的结论也是成立的，但要经过推理、验证。如图，所以RtRtABMBCN△≌△（SAS）。所以AMBBNC．四、等腰三角形的证明题例5如图3，已知△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB和BC上的点，连结DE并延长与AC的延长线交于点F，若DE=EF，求证：BD=CF证明：过D作DG∥AF交BC于G则∠F=∠GDE，DE=EF，∠DEG=∠FEC∴△DGE≌△FCE∴GD=CF又∵AB=AC∴∠B=∠ACB又∵∠ACB=∠BGD∴∠B=∠BGD∴BD=GD又∵GD=CF∴BD=CFACNQMBACQMBNADNCBQMABCFD图3巧构等腰三角形妙解题一、“角平分线平行线”构造等腰三角形例1、如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过F作DE//BC，交AB于点D，交AC于点E，若BDCE=10，则线段DE的长为_______FEDCBA二、“角平分线垂线”构造等腰三角形例2、如图所示，在△ABC中，BM是∠ABC的平分线，AD⊥BM于点D，求证：∠BAD=∠DAC∠CMEDCBA三、用“垂直平分线”构造等腰三角形例3、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点M，BD=8，求AC的长MDCBA四、用“三角形中2倍角的关系”构造等腰三角形例4、如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B=2∠C，求证：ABBDCD分析：由已知AD⊥BC，∠B=2∠C，如果我们在CD上截取DE=DB，连接AE，就可以构造出两个等腰三角形△ABE和△AECEDCBA证明：在上截取DE=DB，连接AE，∵AD⊥BC，DE=DB，∴AE=AB，∴∠B=∠AEB，又∵∠AEB=∠C∠CAE=2∠C，∴∠CAE=∠C，∴AE=EC，ABBDAEEDECEDCD